Көтерілу, азайту және экстремальды функция

Көтерілу, азайту және экстремальды функция

Функцияның көбеюі, кемсіту және экстремумдар аралықтарын табу - тәуелсіз де, сонымен қатар басқа да тапсырмалардың, атап айтқанда, Функцияның толық функциясы . Функцияның өсуі, кемуі және экстремумдары туралы алғашқы ақпарат берілген Туынды туралы теориялық тарау Мен алдын-ала зерттеуді ұсынамын (немесе қайталау) - сонымен қатар келесі материал көп негізделеді Маңызды туынды Осы мақаланың үйлесімді жалғасы болу. Егер, егер шетіне уақыт болса да, бүгінгі сабақтың мысалдарын тестілеу мүмкін және таза.

Ал бүгін ауада, сирек кездесетін рух бұралған, мен олардың барлықтарының бәрі қиын екенін сезінемін Функцияны туынды пайдалану арқылы зерттеуді үйреніңіз . Сондықтан, сіздің мониторларыңыздың экрандарында өте жақсы мәңгілік терминология бірден пайда болады.

Не үшін? Себептердің бірі - ең практикалық: Сіз белгілі бір тапсырмада талап етілетініңізді анық көрсету үшін !

Функцияның монотоникасы. Экстремум және экстремалды функциялар

Кейбір функцияны қарастырыңыз . Біз оған сендік Үздіксіз Бүкіл сандық сызықта:

Тамырларды табыңыз - сыни пункттер (y - 1) (y + 1) / y = 0: y1 0, y2 = 1 және y3 = - 1-ге тең емес.

Егер мүмкін болатын иллюзиялардан бірден құтылыңыз, әсіресе жақында өзін танысқан оқырмандар үшін Таңба функциясының аралықтары . Қазір біз ҚЫЗЫҚТЫРМАЙДЫ График оське қатысты қалай орналасқан (Жоғарыдан, төменде, ось қиып өтеді). Рұқсаттар үшін осьті ақылмен өшіріп, бір кестені қалдырыңыз. Өйткені оған қызығушылық.

Қызмет ету артады аралықта, егер көзқараспен байланысты осы аралықтың екі нүктесі болса , Әділ теңсіздік . Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келеді, ал оның кестесі «төменнен». Көрсету функциясы Аралыққа өседі .

Сол сияқты, функция азаю аралықта, егер осы уақыт аралығы үшін болса, мысалы , Әділ теңсіздік . Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның кіші мәніне сәйкес келеді, ал оның кестесі «төменге». Біздің функциямыз аралықтарда азаяды .

Егер функция аралыққа көбейсе немесе азаяса, онда ол аталады Қатаң монотонды Осы уақыт аралығында. Монотония дегеніміз не? Сөздік мағынаны түсіну - монотония.

Сіз сондай-ақ анықтай аласыз Заңсыз Функция (Жұмсартылған жағдай) бірінші анықтамада) және Өкпе емес Функция (Жұмсартылған жағдай) 2-ші анықтамада). Оқшаусыз немесе қол жетімді емес функция осы аралықпен монотонды функция деп аталады. (Қатаң монотондар - жеке іс »« Монотония) .

Сондай-ақ, теория функцияның жоғарылауы / төмендеуін, оның ішінде жартылай аралықтарды, сегменттерді, бірақ майлы май майын құйып, категориялық анықтамалармен келісе отырып, біз ашық интервалдармен келісеміз - бұл Таза және көптеген практикалық тапсырмаларды шешу үшін.

Осылайша, Менің мақалаларымда «функцияның монотоникасы» деген сөздер әрқашан жасырын болады Аралықтар Қатаң монотония (функцияның қатаң өсуі немесе қатаң азайту).

Нүктенің көршісі. Сөздер, содан кейін студенттер жүгіріп, сұмдық, және сұмдық, бұрыштарға жасырады. ... егер посттан кейін болса да Коши шектері Қазірдің өзінде, мүмкін, жасырмаңыз, бірақ аздап дірілдейтін =) алаңдамаңыз, енді математикалық анализдер теоремаларының дәлелдері болмайды - анықтамаларды қалыптастыру үшін қажет болған жағдайда Экстремум нүктелері . Есіңізде болсын:

Көршілес Бұл нүктені қамтитын аралық деп аталады, ал аралықта ыңғайлы болу үшін симметриялы деп саналады. Мысалы, нүкте Және оның стандарты - орта: Іс жүзінде, анықтамалар:

Нүкерту қоңырау шалу Қатаң максималды нүкте , егер тіршілік ету соның -Кост, барлығына Құндылықтар бұл нүктені ерекшелеу Орындалған теңсіздік . Біздің нақты мысалда бұл нүкте .

Нүкерту қоңырау шалу Қатаң минимум нүктесі , егер тіршілік ету соның -Кост, барлығына Құндылықтар бұл нүктені ерекшелеу Орындалған теңсіздік . Суретте - «А» нүктесі.

Ескерту : Симметриялы ортаның талабы мүлдем емес. Сонымен қатар, маңызды Жан-жиу фактісі көрсетілген шарттарды қанағаттандыратын орта (тіпті кішкентай, кем дегенде, микроскопиялық)

Ұпай Шақыру Қатаң экстремум нүктелері немесе жай Экстремум нүктелері Функциялар. Яғни, бұл ең аз нүктелер мен минималды нүктелердің жалпыланған мерзімі.

«Экстремум» деген сөзді қалай түсінуге болады? Иә, тек монотония сияқты. Американдық слайдтардың экстремалды нүктелері.

Монотония жағдайындағыдай, теорияда одан да жиі кездесетін керемет постулаттар бар (Әрине, қаралған қатаң жағдайлар құлап жатыр », яғни :

Нүкерту қоңырау шалу Максималды нүкте , егер тіршілік ету оның айналасы осындай барлығына Құндылықтар Бұл қоршаған орталық теңсіздік. . қоңырау шалу Нүкерту , егер тіршілік ету оның айналасы осындай барлығына Құндылықтар Бұл қоршаған орталық теңсіздік. .

Минимум нүктесі Соңғы екі анықтамаға сәйкес, функция-тұрақты нүктенің кез-келген нүктесі (немесе кейбір функцияның «« «Тегіс бөлімі») максималды нүкте және минимум деңгейі ретінде қарастырылады! Қызмет ету Айтпақшы, ол сонымен бірге ол да жұмыс істемеу және жоққа шығарылуы мүмкін, яғни монотонды. Алайда, біз бұл дәлелді теоретиктерге қалдырамыз, өйткені біз іс жүзінде біз әрдайым дәстүрлі «төбелер» және «депрессиялар» деп ойлаймыз (сызбаны қараңыз), ерекше «тау патшасы» немесе «ханшайым батпақтар» . Әр түрлі ретінде кездеседі Шет Мысалы, төмен, мысалы, минималды функция .

Нүктеде Шақыру Иә, айтпақшы, патша активтері туралы: - мағынасы Шақыру максимум функциялар;

- мағынасы Минимум Функциялар.

Жалпы атауы -

Шекарасы Функциялар. Өтінемін, сөзбен айтыңыз! Экстремум нүктелері

- Бұл «ICS» құндылықтары. Шекарасы

- «Игарекой» құндылықтары.

! Ескерту

: Кейде тізімделген терминдер «X-Raerek» ұпайларын қоңырау шалып, тікелей функцияның графигінде жатады. Функция қанша шектен шығуы мүмкін? Ешқайсысы, 1, 2, 3, ... және т.б. шексіздікке. Мысалы, Синус шексіз көптеген минима және биік. МАҢЫЗДЫ! «Максималды функция» термині Жеке емес «Максималды функция мәні» термині. Бұл мәнді байқау оңай Мүмкіндігінше тезірек жергілікті жерде, сонымен қатар «бұралу жолдары» бар. Сол сияқты, «ең аз функция» «функцияның минималды мәнімен» бірдей емес, ал сызықтауда біз оны көреміз Минимум тек белгілі бір аймақта. Осыған байланысты экстремумдық ұпайлар да аталады Жергілікті экстремумның нүктелері , және шектен тыс - Жергілікті шектен тыс . Жаяу серуендеу алыс емес және Ғаламдық бауырлар. Сонымен, кез-келген парабола оның шыңында Жаһандық минимум

немесе

Жаһандық максимум

. Әрі қарай мен экстремумдардың түрлерін ажыратпаймын, ал түсіндіру жалпы білім алуда көбірек айтылады - «Жергілікті» / «Global» қосымша сын есімдері таңқаларлық емес.

Алдымен Иранмен Иранды Иракпен шатастырмау үшін кішігірім терминологиялық реферат жасауға және түсінуді ұсынамын.

Бақылау кадрларына деген кішкентай экскурсияңызды қорытындылайік: «Монотонияның аралықтарын және экстремумдық функцияның аралықын табыңыз» деген не?

Сөздер мыналарды табуға шақырады: - функцияның аралық өсіру / азайту (жиі, қалпына келтірілмейтін, қалпына келтірілмейтін);

- Максималды және / немесе минималды нүктелер (бар болса). Ал, жақын арада минима / максиманы өздері тапқан дұрыс ;-) Мұның бәрін қалай анықтауға болады?

Шығарылған функцияны пайдалану! Кемшілік, кему уақыт аралығын қалай табуға болады .

Экстремумдық нүктелер мен экстремалды функциялар? Көптеген ережелер айтарлықтай белгілі және түсінікті туындығының мағынасы бойынша сабақ Қарау

Сарай Кейбір аралық функцияда . Содан кейін:

Сарай Кейбір аралық функцияда - Егер туынды болса

Ескерту аралықпен, содан кейін функция

осы уақыт аралығында артады; осы уақыт аралығында азаяды. : Әділ және кері айыптаулар. Нүкте болсын Анықтама аймағына жатады Функциялар . Бұл нүкте деп аталады Өте қиын

Егер туынды болса, онда нөл болса: немесе құндылықтар жоқ. Критикалық нүкте экстремумдық нүкте болуы мүмкін. Ол болмауы мүмкін. Жақында біз экстремумның болуы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды қарастырамыз. Бірақ бірінші Мысықтар бойынша жаттығу Біз қарапайым мысалдармен бөлінеміз. Қайта орнату Туынды туралы теориялық мақала

, Және кезекте, басқа талдау құрбандары. Сонымен бірге, кішкентай өзін-өзі тексерудің мүмкіндігі бар - олардың не көрінетіні қаншалықты жақсы Өмірлік функциялардың графигі ? Ауыр корпуста, әрине, келесі қойындысында бірінші сабақты ашып, сонда нұқыңыз және түсініктемелер ретінде мына жерден басыңыз. Туынды текше функциясы Теріс емес: Кез келген «x» үшін. Шынында да, текше парабола «төменнен жоғары» жүреді. Шексіз жақын

Қызмет ету нүктеде Жылдамдықты өзгерту Функциялар нөлге тең, ол үшін туынды судың қайсысы туралы айғайлау туралы: . Міне,, айтпақшы, бірден, бірден, сыни нүктеде максималды немесе минималды функция болмаса. аралық тұрғыда және оның туынды теңсіздігі Әрине, «X тамыры» аралыққа қатаң өсіп келе жатқанын көрсетеді Сыни тұрғыдан қызмет ету анықталған с Бірақ ажыратылмайды. Геометриялық позициялармен жалпы таныс жоқ. Алайда теория деп санайды

Ескерту Бір жақты туынды құралдар және көрсетілген нүктеде бар Оң жақты туынды Оң қолмен таныс . Оны толығырақ білгісі келетіндер Том Матананың алғашқы темекі шегуі мүмкін.

: Бірінші абзацқа сәйкес, нүкте Минималды функцияның нүктесі емес («Тұжырымдамаларға сәйкес» дегенмен, бұл сияқты болған сияқты. Максималды нүктелердің анықтамалары және минималды функцияның бар-жоғын қамтиды және сол және оң Осы тармақтардан. Сонымен қатар экстремумдық ұпайлар болып саналмайды. Arcsinus және ArcSinus анықтамасының төтенше шамалары (төменде қараңыз). Стандартты гипербола «Жоғарыдан төмен», яғни, бұл функция барлық уақытта азаяды

Анықтама алаңдары . Оның туындысын не көрсетеді: Нөлден басқа кез келген «x» үшін. Міне, Айтпақшы, нүкте Функциясы, өйткені функция .

Ондағы трита анықталмаған.  Экспоненциалды функция Бүкіл сандық түзетіңіз (кез келген «X» мүмкін емес теңсіздік ). Туынды зерттеу .

Функцияны тұжырымдау оңай Керісінше - төмендейді Табиғи логарифмәні не істейді Бүгін кешке ? Жүргізіледі: Аралықта

Келесі немесе бір суретке түсіру / басып шығару (есте жыныспен елестетіп көріңіз) Графика функциясы Және оның туындысы . Мұнда косинус кестесі осьтің үстінде , Синус өсіп келеді. Артқа - кесте қайда Abscissa осінің астында орналасқан, синус азаяды. Және косинус осьті кесіп өтетін жерлерде (

), синусоид минимумға немесе максимумға жетеді. Ұқсас тарих косинуспен («Тұжырымдамаларға сәйкес» дегенмен, бұл сияқты болған сияқты. Максималды нүктелердің анықтамалары және минималды функцияның бар-жоғын қамтиды .

және оның туындысы (Екінші жақтау мақалада түсірілген.

Геометриялық диаграмма түрлендірулері ). Тангенс туынды аралық тұрғыда Функцияны бұзады барлығы артады

Котангенмен және оның туындысымен

Жағдай дәл керісінше. Аралыққа Арксинус Өскен - туынды мына позитивті: . .

-Да

Ол анықталады, бірақ айырмашылығы жоқ. Алайда, сыни тұрғыдан Оң жақты туынды және оң жақтағы туынды және оң жақтағы және басқа жиек - олардың сол жақты визасы бар.

Менің ойымша, сіз Arkskosinus және оның туындысы үшін осындай дәлелдерді алу қиынға соғады деп ойлаймын. Барлық тізімделген жағдайлар, олардың көпшілігі :

Кесте туындылары

, Еске саламын, тікелей

Туынды анықтамалар :

Неліктен туынды қолдану арқылы функцияны тергеу керек? Бұл функцияның графигі қандай екенін білу үшін : Ол жерде ол «төменнен» төмен түседі, мұнда «жоғарыдан төменге», мұнда Максима минима жетеді (егер барлық жетістікке жетсе). Барлық функциялар мұндай қарапайым емес - көп жағдайда бізде немесе басқалардың графигі туралы түсінік жоқ.

Неғұрлым маңызды мысалдарға барып, қарастыратын уақыт келді

Монотония және экстремумдық аралықтардың орналасқан жері үшін алгоритм

1-мысал. Көбею / азайту және экстремум функциясының аралықтарын табыңыз . Бұл нүкте деп аталады Шешім .

1) алғашқы қадамда сіз табуыңыз керек .

Функцияны анықтау аймағы , сондай-ақ Gap Point ескертуіне назар аударыңыз (егер олар болса). Бұл жағдайда функция бүкіл сандық тікелей бағыттағы үздіксіз және бұл әрекет белгілі бір дәрежеде формальды болып табылады. Бірақ кейбір жағдайларда ауыр құмарлықтар пайда болады, сондықтан біз абзацты елемеусіз қарастырамыз. 2) алгоритмнің екінші нүктесі Экстремумның алдын-ала күші: Егер нүкте болса Содан кейін экстремум бар .

жоқ :

Аяқтауды шатастырады? «Х модулі» экстремалды функциясы Жағдай қажет, бірақ :

Жеткіліксіз

Ескерту Қарама-қарсы мәлімдеме әрқашан өте алыс. Сонымен, теңдіктен Бұл мүмкін емес, бұл мүмкіндіктің максимумға немесе минимумға жететіні әлі болмауы керек Функцияның толық функциясы . Классикалық мысал жоғарыда жанып тұрды - бұл текше парабола

және оның сыни нүктесі Мүмкін, мүмкін болғанша, қажетті экстремальды жағдай күдікті нүктелерді табу қажеттілігін тудырады. Мұны істеу үшін оны туынды және теңдеуді шешу керек

Әдеттегідей болды

Квадраттық теңдеу

Позитивті дискриминант екі маңызды нүктені береді:

: тамырлар дәстүрлі түрде белгілей алады Қарау

, алайда Ауыстырмалы индекстерсіз ыңғайлы, өйткені олар қосымша ескертулер мен шатасулар тудырады ;

, алайда Солай .

- сыни ұпайлар Бірақ олардағы шектен тыс жағдайлар болмауы мүмкін, сондықтан сіз шешімді жалғастыруыңыз керек.

3) Мен бізге көмектесемін экстремумның алғашқы жеткілікті шарты, қайсысы қысқаша тұжырымдалған: сыни нүктенің кейбір аудандарында дифференциалды функцияны жіберіңіз .

Егер нүкте арқылы ауысқан кезде Туынды «плюс» белгісін «минусқа» өзгертеді, содан кейін осы кезде функция максимумға жетеді

Мерзімдік белгі белгісін «минусқа» «плюс» -ге өзгертеді, содан кейін осы кезде функция минимумға жетеді Бәрі өте және өте таза, елестетіп, розла-раушан-өскен функция және белгілі бір бұрылыс өткеннен кейін кенеттен кенеттен азая бастады. Максимум. Екінші жағдайда, кесте жаяу жүрді, ол төмен қарай төмен түсіп, нүкте арқылы өтті Қарама-қарсы бағытта орналастырылған. Минимум. Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, ол логикалық шешімімен жүреді: Сандық тікелей бойынша, сіз функцияны, сыни нүктелерді бұзу нүктесін кейіннен кейінге қалдыруыңыз керек және ол ояттардағы туынды белгілерді анықтаңыз

өрісті анықтау аймағына кіреді Қарастырылған мысалда сабақтастық бар

Барлық типтер, сондықтан біз тек тапқан сыни нүктелермен жұмыс жасаймыз. Жарамды Аралық әдіс анықтау үшін бұрыннан қолданылған Функция белгісінің аралықтары . Неліктен оны туынды үшін қолданбасқа? Өйткені, туынды адам да қарапайым өлім функциясы болып табылады, сіз оны таба аласыз - және қалағаныңызды жасаңыз. :Назар аударыңыз! .

Қазір біз туындымен жұмыс жасаймыз, және функцияның өзімен емес! Бізден бұрын парабола , Кімнің бұтақтары бағытталған және көптеген оқырмандар туынды белгілерге түсінікті, бірақ қайталану үшін қайталану үшін барлық кезеңдерде қайтадан өтеді. Әдіс аралықтары . Біз тақырыптық тікелей сыни пункттерден кейінге қаламыз: .

I) біраз уақыт аралығын алыңыз Осы сәтте біз туынды тұлғаның құндылығын табамыз. Таңдау ыңғайлы Бұл туынды дегеніміз, бүкіл аралыққа теріс Ii) нүктені таңдаңыз .

Тұрақты аралық , және ұқсас әсерді жүзеге асырыңыз:

, Демек, Аралықпен Iii) туындының құнын ең ыңғайлы нүктеде есептеңіз Соңғы интервал: , солай Кез келген жерде аралық артады Нәтижесінде туындығының келесі белгілері алынды: Егін жинауға уақыт келді!

Аралықта Туынды теріс, бұл функцияның өзі дегенді білдіреді Деректер аралықтарында :

азаю және оның кестесі «жоғарыдан». Орташа аралық бойынша функцияны білдіреді үстінде

Оның кестесі «Төменнен». Нүкте арқылы ауысқан кезде Туынды «-» белгісін «+» -ке өзгертеді, сондықтан, осы кезде функция жетеді Минимум Нүкте арқылы ауысқан кезде Туынды белгіні «+» бастап «-» және функцияға өзгертеді Максимум

Бұл кезеңде: Жауап беру : функциялар аралықпен жоғарылайды

және аралықтарда азаяды Үстел құрыңыз.. Нүктеде Функция минимумға жетеді: , және нүктеде - Максимум: Қысқартылған жазбадан сақ болыңыз

. Белгішелер астында Әдетте минималды және максималды мәнді түсінеді, және бұл жоғарыда түсіндірілгендей, минималды және максимумнан алыс емес. Мысал, ет тартқыш арқылы, күнә барлық оқиғалардың графикалық бейнесін қозғамайтын етіп жабысады. Бейтанылым Мақаланың теориялық бөлігі шляпасын шешіп алады: Не болды? Бірінші кезеңде біз туынды таптық .

және сыни нүктелер (Parabola-да абсцисса осьімен қиылысады). Содан кейін аралық әдіс орнатылды, онда (Парабола осьтің астындағы) және (Парабола осьтен жоғары). Осылайша, туынды құралдың көмегімен біз өсу / төмендету аралықтарын және экстремумдық «көк» функцияны білдік. 1-ші экстремальды жағдайдан басқа, 2-ші жағдай жеткілікті, дегенмен Функцияларды зерттеу Бұл ақпараттық және көп қолданылады Төтенше міндеттер

Бірінші мақаланың басында

Графикалық функция туралы

Мен мысалда параболаны қалай тез құруға болатындығын айттым

: «... алғашқы туынды қабылдап, оны нөлге теңестіріңіз:

... Сонымен, біздің теңдеуіміздің шешімі:

«Бұл осы сәтте, бұл параболаның жоғарғы жағы ...». Енді менің ойымша, параболаның жоғарғы жағы осыған ұқсас, сондықтан бұл туралы айтылғандай, неге бұл жерде =), бірақ бұл жерде осындай мысалдан бастау керек, бірақ бұл өте қарапайым (тіпті шайнекке де). Сонымен қатар, аналогы сабақтың соңында

Шығарылған функция

Туынды анықтамалар :

. Сондықтан дәреже жоғарылайды: .

2-мысал.

Монотония мен экстремум функциясының аралықтарын табыңыз Бұл тәуелсіз шешім үшін мысал. Толық шешім және сабақ соңында ТӨЛЕМДІҢ ҮЛГІЛЕРІНІҢ ПОТИНГІ.

Фракциялық рационалды функциялармен кездесудің көптен күткен сәті болды:

3-мысал. Бірінші туынды қолдану арқылы функцияны зерттеңіз Варяриялық өзгерісті іс жүзінде қалай өзгертуге болатындығын ескеріңіз. 1) Функция ұпайлардағы шексіз үзілістерден зардап шегеді 2) Біз сыни пункттерді анықтаймыз. Бірінші туынды табыңыз және оны нөлге теңестіріңіз: Бізден бұрын парабола Теңдеуді шешу . . Фракция нөлге тең, ал оның саны нөл болған кезде: Осылайша, біз үш сыни пункт аламыз: .

3) Барлық анықталған нүктелерді сандық бағыттаңыз және Аралық әдіс Туынды белгілерін анықтаңыз:

Мен сізге біршама уақыт алу керек, ол туындығының мәнін есептеңіз Оның белгісін анықтаңыз. Тіпті санамау тиімдірек, бірақ «fuck» ауызша. Мысалы, нүкте алыңыз , және алмастыру жасаңыз: Екі «плюс» және бір «минус» «минус» береді, сондықтан .

Сондықтан туынды теріс және барлық аралық Әрекет, түсінгеніңізше, сіз алты аралықтың әрқайсысына жұмсауыңыз керек. Айтпақшы, санның мультипликаторы және деноминатор Нүкте арқылы ауысқан кезде

Кез-келген аралықтың кез-келген нүктесі үшін оң, ол тапсырманы айтарлықтай жеңілдетеді.

Аралықта Сонымен, туынды бізге функцияның өзі туралы хабарлады

артады және азайту . Бірдей интервалдарға Қауымдастық белгішесін бекіту ыңғайлы. Нүктеде Функция максимумға жетеді: Нүктеде Неліктен екінші мәнді қайта қалпына келтіре алмайсыз деп ойлаңыз ;-)

Оның кестесі «Төменнен». Туынды белгіше өзгермейді, сондықтан функция ешқандай экстремум жоқ - ол төмендеді және төмендеді. , және алмастыру жасаңыз: ! Маңызды нүктені қайталаңыз :: Ұпай Туынды белгіні «+» бастап «-» және функцияға өзгертеді Маңызды болып саналмайды - оларда жұмыс істейді .

анықталмаған . Тиісінше, міне Экстремумдар өзекті бола алмайды (Туынды белгі өзгерсе де). : Функция жоғарылайды Нүктеде (-Инфитид; -1)Максималды функцияға қол жеткізілді: - Минимум: Монотония және экстремумдық аралықтарды білу және жиынтық Асимптотами

Бұл функция функциясының пайда болуы туралы өте жақсы түсінік береді. Орта деңгейдегі адам кестенің жұмысын ауызша анықтай алады

Екі тік асимптот бар

және көлбеу асимптота

. Міне, біздің кейіпкеріміз:

Зерттеу нәтижелеріне қайта байланысуға тырысыңыз. Сыни тұрғыдан

Экстремум емес, бірақ бар

Инфекция графикасы Бұл функцияның графигі қандай екенін білу үшін (Әдетте, бұл да осындай жағдайларда болады). 4-мысал. Экстремалды функцияларды табыңыз 5-мысал.

Монотонияның, максимумның және минималды функцияның аралықын табыңыз

Тікелей «Кубадағы Оккалар» мерекесі, ол бүгін ...

Тааапа, ол үшін ішуге ұсынылған ба? =)

Әр тапсырмада сабақтың соңында түсініктеме беретін өзінің маңызды нюанстары мен техникалық белгілері бар.

Туынды анықтамалар Тапсырманы орындау кезінде сіз әрқашан кірмейтін олқылықтар мен интервалдарды мұқият бақылау керек . Оқиға, кейде мұндай сайттарда туынды болуы мүмкін! Қарапайым мысал: табиғи логарифмнің туындысы Аралықпен анықталады Бірақ логарифмнің өзі жоқ. Өріс анықтамасы аймағына кірмейтін аралықтарды туындымен емдеу мүмкін емес! Типтік тосқауыл рифі: 6-мысал. Монотония аралықтарын және экстремалар функциясын табыңыз

Мен дизайнға қарсы шарттармен күресіп, алгоритм нүктелерінің нөмірленуін тоқтатамын. : Мысалы, 11 мақала .

Туралау аралықтары табылды  домен Бұл функция: , білім :Сыни тұрғыдан маңызды Біздің міндетіміз бойынша ескеріңіз: Бәрі жақсы сияқты: бізде тамыр бар және анықтама аймағының экстремалды нүктелері: Бірақ туынды адам ерекшелігін көрсетті - бұл туылған ата-анадан және аралыққа ұқсамайды .

Оның кестесі «Төменнен». . Сонымен қатар, нүкте (сыни емес !!!;)) Бұл жаман аралыққа кірді! Не істеу? Анам әрқашан дұрыс, сондықтан біз туынды белгілердің белгілерін анықтаймыз

Өріс анықтамасы аймағының аралықтарында ғана Функциясы аралыққа азаяды !

және аралыққа көбейеді

Тааапа, ол үшін ішуге ұсынылған ба? =)

. Экстремумдық нүктелер (және, әрине, экстремумдар) жоқ. Мән

Бұл жағдайларда жоқ, өйткені аралықта

Жай графика функциясы жоқ

: Функция аралықта азаяды

Туынды анықтамалар және өсуде

Экстремумдар жоқ. Егер сіз логарифмді немесе тамырды кездестірсеңіз, өте сақ болыңыз - сіз оны құрметтеуіңіз керек мысалдарда

Осылайша, Функцияны анықтау аймағы 7-мысал.

Бұл тәуелсіз шешім үшін жағымды түсіргіш мысал. Соңғы мысал тентек қыздың тағы бір приключениясына арналған: , және алмастыру жасаңыз: .

Сондықтан туынды теріс және барлық аралық Нүкте арқылы ауысқан кезде 8-мысал. Әрекет, түсінгеніңізше, сіз алты аралықтың әрқайсысына жұмсауыңыз керек. Айтпақшы, санның мультипликаторы 8-мысал. Экстремум ұпайлары функцияларын табыңыз

Оның кестесі «Төменнен». : : Функция бүкіл сандық сызықта анықталған және үздіксіз анықталған. Сыни ұпайларды табыңыз: Егер тек конденсатордың айырбастау туралы егжей-тегжейлі болса:

, содан кейін сандық және берілісшіні «X» -ке азайтыңыз.

- сыни нүктелер. Неліктен құндылықтар (-1; 0)және деноминатор , Туынды адамның нөлінен ажыратылғандықтан, сыни нүктелерге жатқызылуы керек пе? Бұл фактілер, олардың өзі оларда анықталған! Жағдай ерекше, бірақ танан стандартты схема бойынша ашылады. . Әр түрлі ретінде кездеседі Нәтижесінде туынды белгілердің белгілерін анықтаймыз: Функция аралықта артады .

Нүктеде Экстремум жоқ.

- минималды нүкте,

- Максималды нүкте

Шарт бойынша экстремумның пункттерін тауып, бір нәрсе қосу керек болды. Шешімде, мысалы, экстрема өздері есептеледі және өздері ;-)

 (0; 1)

Осы түпнұсқа суретті қарастырайық:

- классикалық

төмен

- «Қалыпты» максимум. Ұпайларда

(1; + шексіздік)

Функция ажыратылмайды, бірақ олар шексіз туынды құралдар мен тік тангенс (туынды теориясын қараңыз).

... Иә, ата-аналар мен балалар әр түрлі. Бірақ ананың анасы 95% қателіктермен

з

. Мен статистикалық зерттеу жүргіздім.

Сәттілік тілеймін! Шешімдер мен жауаптар:

  1. Жариялады: Емелин Александр
  2. Ауырмаңалануларға арналған ең жоғары математика және тек >>>
  3. (Басты бетке өтіңіз)
  4. Авторға қалай алғыс айтуға болады?

«Бәрі өтті!» - студенттерге онлайн-сервистік көмек

Негізгі ақпарат

Негізгі ақпарат

P = F (R) формасының функциясы оның мәнінің «R» немесе дәлел өзгермелі мәнінен тәуелділігі болып табылады. Функционалды сәйкестендірулер қарапайым және күрделі. Біріншісі - қарапайым типтегі бір айнымалыдан тұратын өрнектер класы. Екінші жағдайда, бірнеше дәлелдер немесе дәлелдер, сонымен қатар белгілі бір заңға бағынады.

Монотонизация - бұл белгілі бір уақыт аралығында үнемі төмендейтін немесе көбейту функциясы. Егер ол үнемі төмендейтін немесе өсіп келе жатқан болса, ол қатаң монотонды деп саналады. P = f (r) функциясын берсін. Ол кейбір аралықпен ажыратылады (A; B), теңдігі (R1) немесе F (R2) немесе F (R1) немесе F (R1) немесе F (R1)> = F (R2), сәйкесінше жарамды. Сонымен қатар, R1 <R2 немесе R1 <= R2-ді ескеру қажет. Айта кету керек, R1 және R2 нүктелері тиесілі болуы керек (A; B).

F (R) қатаң (тек төмендеді немесе өсіп келе жатқан немесе тұрақты), содан кейін «<=» немесе «> =» белгісі қатаң «<» немесе «>» белгісімен ауыстырылуы керек: F (R1) <F (R2) немесе f (R1)> F (R2) сәйкесінше.

Жоғарыда сипатталған ұғымдарды математикалық әдіспен жазуға болады, ол көп жинақы болып саналады: Көтеру: ∀ R1, R2 ∈ (A; B): R1 <R2 ⇒ F (R1) <= f (r2). Жазу шифрланған: R1 <R2 (A; B) нүктелері үшін (∈), аралық (a; b) үшін (⇒), егер (⇒) (⇒) (⇒) (⇒) теңсіздіктің орындалуы (R1) <= f (r2).

  1. Қатаң өсу: ∀ R1, R2 ∈ (A; B): R1 <R2 ⇒ F (R1) <F (R2).
  2. Кему: ∀ R1, R2 ∈ (A; B): R1> R2 ⇒ F (R1)> = F (R2).

Қатаң төмендеген: ∀ R1, R2 ∈ (A; B): R1> R2 ⇒ F (R1)> F (R2).

Айта кету керек, функция монотонының интервалдарын ол ұлғайтатын немесе азайтады. Анықтамадан кейін басқа тапсырмаларды шешуге мүмкіндік беретін негізгі теоремаларды қарастыру қажет.

Шектеулі теорема Monotone функциясының шекті теоремасы лимиттерді қолдана отырып, жоғары математикадағы мәселелерді шешу үшін қолданылады. Оның тұжырымы келесідей: егер p = f (r) функциясы дифференциал және аралықта дифференциал етілсе (а; b), содан кейін көрсетілген аралыққа жатса, ол сол жақта соңғы шектеулер бар оң жақта және r0 = a және r0 = b нүктелерінде ол оң жақты және сол жақты шекаралар бар.

  • Бекітуді дәлелдеу үшін сіз монотон болып табылатын кейбір функцияны көрсетуіңіз керек. Сонымен қатар, ол кейбір аралықпен көбейту керек [a; b]. Осыдан кейін сіз кез-келген нүкте r0 ∈ (a; b]. Нәтижесінде, ∀ R ∈ [a; r0) ⇒ f (r) <= f (r0) ⇒ f (r) f (r) жоғарыдан шектеулі [a; r0) ⇒ UPERS (SUP) функциясы (SUP) функциясы F (R) = M <= F (R0). ∀ r ∈ [a; r0) ⇒ f (r) ⇒ f (r) <= m.
  • «E» айнымалы бар деп болжануы керек, ол нөлден үлкен. Ол сонымен бірге ағымдағы аралықпен анықталады. Демек, м - e <F (e) теңсіздік орындалады. Q = R0 e және t r0 мәні 0 - q шекарасымен R0 мәні болсын. Егер шарт ∀ R ∈ (e; r0) = (t; r0), содан кейін f (e) <= f (r). Нәтижесінде, ∀ e> 0 ∃ q> 0 үшін ∀ ∀ (t; r0): m - e <f (e) <f (e) <f (r) <f (m <m + e) Демек, | f (r) - m | <E. X R0: lim [f (r r0 - 0) = m. (R -> r0 - 0) = m. Бұл байланыстырады: f (r0 - 0) = sup f (r), a <= R <r0.
  • Сол сияқты, R0 ∈ [a; b) нүктесіндегі оң жақты шегі дәлелденді. Мұндай байланыс алынды: f (r0 + 0) = f (r), r0 <r <= b. Теорема дәлелденді.
Төмендегі тұжырымның тұжырымы тек Монотонның қатаң өсіп келе жатқан функциясы үшін ғана. Бірінші жағдайда, оны бір емес, және екі шартты жасау керек: f '(r)> 0 және f' (r) аралыққа тиесілі кез келген нүктеде нөлге тең. Қатаң азайтылған шарттар үшін шарттар алдыңғы жағынан сәл өзгеше: f '(r) <0 және derivate f' (r) көрсетілген алшақтықта нөлдік мәнге тең емес. Үшінші теорема сізге берілген нүктедегі Monotony P = F (R) Monotony сипатын анықтауға мүмкіндік береді r0 ∈ (a; b). Қарым-қатынастың екі нұсқасы бар: F '(R0) <0 және өсуі үшін: F' (R0)> 0.

Сонымен қатар, лимитті мақұлдау туралы дәлелде алынған тергеулер бар:

Күту: F (R0 - 0) = Lim [F (R)] | (R -> R0 - 0) <= l (r)] | (r -> r0 + 0) = f (r0 + 0) .

Deging: f (r0 - 0) = Lim [f (r)] | (r - r0 - 0)> = lim [f (r)] | (R -> r0 + 0) = f (r0 + 0) .

SUP және InfF-тің математикалық белгісін түсіну үшін функциялар жиынтығын ұсыну қажет. Бірінші термин жоғарыдан максималды мәнді білдіреді, ал екіншісі төменде минималды. Көбею және кему критерийлері

Кесте 1. Монотоникалық аралықтар.
  • Белгілі бір белгілер бар, олар үшін p = f (r) функциясының монотоны белгілі бір аралықпен анықтауға болады (A; B).
  • Ол үшін математикадан үш теоремалар бар:
  • Төмендеу және ұлғайту үшін.
  • Егер бұл қатаң азайтылса немесе қатаң түрде көбейсе.
  • Нүкте, туынды және аралықта анықтама.

Бірінші теоремада осындай реферативті бар: дифференциалды функция P = F (A; B) теңсіздік f '(r) <= 0, сонымен қатар F' (R)> = 0, сәйкесінше (осы аралық r ∈-де).

Төмендегі тұжырымның тұжырымы тек Монотонның қатаң өсіп келе жатқан функциясы үшін ғана. Бірінші жағдайда, оны бір емес, және екі шартты жасау керек: f '(r)> 0 және f' (r) аралыққа тиесілі кез келген нүктеде нөлге тең. Қатаң азайтылған шарттар үшін шарттар алдыңғы жағынан сәл өзгеше: f '(r) <0 және derivate f' (r) көрсетілген алшақтықта нөлдік мәнге тең емес. Үшінші теорема сізге берілген нүктедегі Monotony P = F (R) Monotony сипатын анықтауға мүмкіндік береді r0 ∈ (a; b). Қарым-қатынастың екі нұсқасы бар: F '(R0) <0 және өсуі үшін: F' (R0)> 0.

Негізгі қасиеттері

  • Аралықта (A; B) функциялар үшін композициялық өрнектерді зерттеу, сонымен қатар түрлі тапсырмаларды шешу үшін кейбір мәлімдемелер бар.
  • Монотондық функциялардың қасиеттеріне мыналар кіреді:
  • K = f (t) және l = f (v) (v) және l = f (v) өрнегінің жоғарылауы (төмендеу).
  • Егер k = f (t) артып, содан кейін -k = f (t) (керісінше) төмендейді. Алғашқы секундты азайту кезінде сәйкесінше артады.

K = f (t) болған кезде, k2 = 1 / f (t) кері көрінісі бар, содан кейін бірінші секундтың төмендеуі жоғарылайды. Егер бірінші өссе, екінші азаяды.

Екі төмендеу нәтижесі (өсіп, өсу »функциясы болып табылады. Мұндай шарттарды да орындау керек: k = f (t)> = 0 және l = f (v)> = 0.

Егер k = f (t) k = f (a; b) және l = f (t) жоғарылаған немесе төмендетілсе, (C; D), және (A; B) және (A; B), содан кейін (D) қосылады Композиция функциялары k∘ l (k (l (t))) жоғарылайды немесе азаяды.

Егер функция Тік болса, бұл мүмкіндік нәтижеге әсер етпейді, өйткені оның туындысы теріс белгімен болуы мүмкін. Мысал ретінде әдеттегі тригонометриялық косинус.

Теоремалар мен негізгі қасиеттерді зерттегеннен кейін кез-келген өрнек монотонында оқуға қажетті негізгі білімнің минимумын анықтау қажет. Сонымен қатар, сіз кейбір функциялардың графиктерін білуіңіз керек. Оларды салу үшін сіз арнайы онлайн-калькуляторлар мен бағдарламаларды әртүрлі түстермен бөлуге болады.

Негізгі білім Монотониядағы функцияны зерттеу үшін мамандарға әмбебап алгоритмге біріктірілген кейбір ережелерді басшылыққа алу ұсынылады. Мұндай тапсырманы орындау үшін жеткілікті және келесі формасы бар:

  • Бірінші тапсырыс туындысын табыңыз - F '(R).
  • Бірінші абзацта алынған өрнекті 0-ге теңестіріңіз.
  • Екінші абзацтағы теңдеуді шешуді сыни ұпайларды табыңыз.
  • F '(R) белгісін сыни нүктелермен бөлу нәтижесінде алынған интервалдарды анықтаңыз. Кемшіліктер мен өсіп келе жатқан олқылықтарды табыңыз.
  • Соңғы элемент үстелдің көмегімен жүзеге асырылуы керек. Алгоритмді қатаң сақтау керек, өйткені дұрыс емес әрекеттер нәтижеге айтарлықтай әсер етеді.

Туынды табу

Туынды іздеу үшін сіз осындай қадамдарды орындауыңыз керек: тұрақты етуіңіз керек: тұрақты ету үшін, өрнекті жеңілдетіңіз және элементарлық функциялардың дифференциалдарының кестесін қолданыңыз (Cурет 1). Алғашқы екі элемент дайындық болып саналады, өйткені ол есептеу процесін оңтайландыруға мүмкіндік береді. Қысқартылған көбейту формулаларын, фракциялардың қасиеттері, көбейткіштердің қасиеттері, мультипликаторлардың пайда болуы және т.б. өрнекті жеңілдетілген түрде келтіргеннен кейін, сізден жасалған элементардың кестесін пайдалануыңыз керек.

Сурет 1. Қарапайым өрнектердің дифференциалдары.

Алайда, тапсырмаларды шешкен кезде қарапайым өрнектер әрқашан келе бермейді.

Осылайша, белгілі бір кезеңдегі функцияның монотонының анықтамасы оның мінез-құлқын зерттеу элементтерінің бірі болып табылады. Бұл операцияны жүзеге асыру үшін арнайы алгоритм, теоремалар мен қасиеттер қолданылады.
  1. Композиттік үшін белгілі бір ережелер бар:
  2. Қаныс: [k (t) + l (t)] '= k' (t) + l '(t).
  3. Айырмашылық: [k (t) - l (t)] '= k' (t) - l '(t).

Өнім: [k (t) * l (t)] '= k' (t) * l (t) + l '(t) * k (t) * k (t).

Жеке: [k (t) / l (t)] '= [k' (t) * l (t) - l '(t) (T) * (T) * k (T)] / (T)) / (L (T)) ^ (T)))

Бас жүгініңіз: [k (k (l (t))] '= l' (t) * k '(t).

Мамандарды бағдарламаларды қолдануды тексеру үшін ұсынылады, бірақ бұл тапсырмаларды тек онлайн-қызметтер мен математикалық пакеттердің көмегімен шешу керек дегенді білдірмейді.

Түбірлік теңдеулер және сыни нүктелер

  • Келесі қадам - ​​белгісіз теңдікті шешу. Айта кету керек, теңдеулер келесі түрлерге бөлінуі керек: сызықты, квадрат, куб, біршама, ликет, тригонометриялық, логарифмдік, қуат, экспоненциалды және иррационал.
  • Бірінші түрі өте қарапайым алгоритмде шешіледі: белгісіз бір бөлігіне ауыстырылуы және басқасына танымал болуы керек. Шаршы теңдеуін шешу үшін (AW ^ 2 + BW + C = 0), оны жеңілдету, көбейту немесе кемсітушілікке есептеу керек. Соңғысы келесі формула бойынша есептеледі: D = B ^ 2 - 4AC. Тамырлар саны D мәніне байланысты және осындай формулалармен анықталады:
  • D> 0: W1 = (-B = (-B - [d] ^ (1/2)) / 2а және w2 = (-B + [d] ^ (1/2)) / 2a.
  • D = 0 (бір): w = (-b) / 2a.
y D <0 болған кезде тамырлар жоқ. Мультипликаторлармен ыдырау әдісін қолдана отырып, оны D., мысалы, x (x-1) (X-1) (X-1) = 0 өрнегінде шешуге болады (X-4) = 0, үш теңдеу қарастырылады: x1 = 0, x2 -1 = 0 және x3 - 4 = 0. Текше ерітінді және бакал-кисто-кезекшілік белгіні көбейту арқылы ыдырау арқылы жүзеге асырылады. Сонымен бірге, 2-ге дейін дәреже төмендейді, содан кейін оның тамыры бар. Басқа теңдеулердің тамырын табу үшін ауыстыруды қолданыңыз, содан кейін сызықты немесе шаршыға азайтыңыз. Айта кету керек, трансцендентальды (логарифмдер мен индикаторлар) логарифминг және гристикалық қасиеттер туралы білуі керек. Тамырлар ауыстырылуда. Сыни қысқартулар деп аталады, онда функция оның мінез-құлқын өзгертеді (тепе-теңдік, жиілік, шектен тыс және т.б.). Зерттеуде олар интервал түріндегі арнайы мінез-құлық кестесінде жазылады.
Шешімнің мысалы - + - +
z У В У В

Тапсырмалар бірнеше түр. Кейбіреулерінде монотонияның аралықтары табылуы керек, екіншіден, белгілі бір интервалда жоғарылаған немесе төмендейтін теоремалар негізінде дәлелдеу керек. Мысалы, Z (y) = (y ^ 2 + 1) функциясының монотондылығының аралықтарын табу қажет. Айта кету керек, ол сараланады. Оның анықтамасының D (z) = (-besphese; 0) U (0; + шексіздік). Мұны алгоритм бойынша шешу қажет:

Монотоникалық аралықтар және экстремалар функциясы

Туынды: [(y ^ 2 + 1) / y] '= (y ^ 2 - 1) / y.

0-ге теңестіріңіз: (y ^ 2 - 1) / y = 0.

Добавить комментарий