आरोही, कमी और चरम समारोह

आरोही, कमी और चरम समारोह

समारोह के बढ़ते, अवरोही और चरम के अंतराल को ढूंढना एक स्वतंत्र कार्य और विशेष रूप से अन्य कार्यों का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है, समारोह का पूर्ण कार्य । समारोह के बढ़ते, अवरोही और चरम के बारे में प्रारंभिक जानकारी दी जाती है व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक अध्याय मैं दृढ़ता से प्रारंभिक अध्ययन की सिफारिश करता हूं (या पुनरावृत्ति) - इसके कारण भी निम्नलिखित सामग्री सबसे अधिक आधार पर आधारित है आवश्यक व्युत्पन्न इस लेख की एक सामंजस्यपूर्ण निरंतरता होने के नाते। हालांकि, अगर किनारे में समय, आज के सबक के उदाहरणों का संभव और पूरी तरह से औपचारिक परीक्षण है।

और आज हवा में, दुर्लभ सर्वसम्मति की भावना मोड़ दी गई है, और मैं सीधे महसूस कर रहा हूं कि मौजूद सभी कठिन हैं व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का पता लगाना सीखें । इसलिए, आपके मॉनीटर की स्क्रीन पर उचित अच्छी शाश्वत शब्दावली तुरंत दिखाई देती है।

किस लिए? कारणों में से एक सबसे व्यावहारिक है: यह स्पष्ट करने के लिए कि आप आमतौर पर किसी विशेष कार्य में आवश्यक हैं !

समारोह की एकता। Extremum और चरम कार्य

कुछ समारोह पर विचार करें । हमें विश्वास था कि वह निरंतर पूरे संख्यात्मक पर सीधे:

जड़ों को ढूंढें - महत्वपूर्ण अंक (वाई - 1) (वाई + 1) / वाई = 0: वाई 1 0 के बराबर नहीं है, वाई 2 = 1 और वाई 3 = - 1।

बस मामले में, तुरंत संभावित भ्रम से छुटकारा पाएं, खासकर उन पाठकों के लिए जिन्होंने हाल ही में खुद को परिचित किया प्रतीक समारोह के अंतराल । अब हम रुचि नहीं कैसे ग्राफ एक्सिस के सापेक्ष स्थित है (नीचे, नीचे, जहां अक्ष को पार करता है)। अनुमतियों के लिए मानसिक रूप से धुरी मिटाएं और एक शेड्यूल छोड़ दें। क्योंकि इसमें रुचि है।

समारोह बढ़ती है अंतराल पर, यदि इस अंतराल के किसी भी दो बिंदुओं के लिए दृष्टिकोण से जुड़ा हुआ है उचित असमानता । यही है, तर्क का अधिक मूल्य फ़ंक्शन के अधिक मूल्य से मेल खाता है, और इसका शेड्यूल "बॉटम-अप" है। प्रदर्शन समारोह अंतराल पर बढ़ता है .

इसी तरह, एक समारोह कमी अंतराल पर, यदि इस अंतराल के किसी भी दो बिंदुओं के लिए, ऐसे उचित असमानता । यही है, तर्क का अधिक मूल्य फ़ंक्शन के छोटे मूल्य से मेल खाता है, और इसका शेड्यूल "टॉप डाउन" है। हमारा कार्य अंतराल पर घटता है .

यदि फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है या घटता है, तो इसे कहा जाता है सख्ती से नीरस इस अंतराल पर। एकरता क्या है? शाब्दिक अर्थ को समझें - एकाग्रता।

आप यह भी निर्धारित कर सकते हैं ग़ैरक़ानूनी समारोह (नरम स्थिति पहली परिभाषा में) और गैर-फुफ्फोटक समारोह (नरम स्थिति दूसरी परिभाषा में)। अंतराल पर अनपेक्षित या गैर-प्राप्त करने वाले फ़ंक्शन को इस अंतराल पर एकान्त समारोह कहा जाता है। (सख्त एकाग्रता - निजी मामला "बस" एकाग्रता) .

सिद्धांत अर्ध-अंतराल, सेगमेंट सहित समारोह में वृद्धि / कमी को निर्धारित करने के लिए अन्य दृष्टिकोण भी मानता है, लेकिन आपके सिर पर तेल-मक्खन तेल डालना नहीं है, हम स्पष्ट परिभाषाओं के साथ खुले अंतराल पर सहमत होंगे - यह है स्पष्ट, और कई व्यावहारिक कार्यों को काफी हल करने के लिए काफी।

इस प्रकार, मेरे लेखों में, शब्द "समारोह की एकोनोटोनिसिटी" के लिए लगभग हमेशा छिपाएगा अंतराल सख्त एकता (समारोह में सख्त वृद्धि या सख्त कमी)।

बिंदु का पड़ोस। शब्द, जिसके बाद छात्र भागते हैं, जो कर सकते हैं, और डरावनी में, कोनों में छिपाते हैं। ... हालांकि पोस्ट के बाद कौची सीमाएं पहले से ही, छिपाओ, लेकिन केवल थोड़ा shudder =) चिंता न करें, अब गणितीय विश्लेषण प्रमेय का कोई सबूत नहीं होगा - परिभाषाओं को तैयार करने के लिए आवश्यक परिवेश की आवश्यकता है चरम के अंक । याद रखना:

पड़ोस बिंदु इस बिंदु को शामिल करने वाले अंतराल को कहा जाता है, जबकि अंतराल को अक्सर सुविधा के लिए सममित माना जाता है। उदाहरण के लिए, बिंदु और इसका मानक - परिवेश: दरअसल, परिभाषाएं:

दूरसंचार विभाग बुलाया सख्त अधिकतम बिंदु , अगर मौजूद उसकी -लागत, सभी के लिए मूल्यों जो बिंदु का अपवाद है असमानता की । हमारे विशेष उदाहरण में यह एक बिंदु है .

दूरसंचार विभाग बुलाया सख्त न्यूनतम बिंदु , अगर मौजूद उसकी -लागत, सभी के लिए मूल्यों जो बिंदु का अपवाद है असमानता की । ड्राइंग में - पॉइंट "ए"।

ध्यान दें : सममित परिवेश की आवश्यकता बिल्कुल नहीं है। इसके अलावा, महत्वपूर्ण अस्तित्व का तथ्य परिवेश (यहां तक ​​कि छोटे, कम से कम सूक्ष्म) निर्दिष्ट शर्तों को संतुष्ट करते हैं

अंक बुलाना सख्त चरम के अंक या केवल चरम के अंक कार्य। यही है, यह अधिकतम अंक और न्यूनतम बिंदुओं की सामान्यीकृत अवधि है।

"Extremum" शब्द को कैसे समझें? हाँ, बस एकरता के रूप में। अमेरिकी स्लाइड के चरम डॉट्स।

एकान्त के मामले में, सिद्धांत रूप में और भी आम अविश्वसनीय पोस्टुलेट्स हैं (जिसके तहत, स्वाभाविक रूप से, माना जाता है कि सख्त मामले गिर रहे हैं!) :

दूरसंचार विभाग बुलाया अधिकतम बिंदु , अगर मौजूद इसके आसपास के हैं सभी के लिए मूल्यों यह आसपास की असमानता है। बुलाया दूरसंचार विभाग , अगर मौजूद इसके आसपास के हैं सभी के लिए मूल्यों यह आसपास की असमानता है। .

न्यूनतम बिंदु ध्यान दें कि अंतिम दो परिभाषाओं के अनुसार, फ़ंक्शन-निरंतर (या कुछ कार्य के "चिकनी खंड" के किसी भी बिंदु को अधिकतम बिंदु और न्यूनतम बिंदु माना जाता है! समारोह वैसे, साथ ही, यह भी निष्क्रिय और अपरिवर्तनीय है, जो एकान्त है। हालांकि, हम इस तर्क को सिद्धांतकारों को छोड़ देंगे, क्योंकि व्यावहारिक रूप से हम लगभग हमेशा पारंपरिक "पहाड़ियों" और "अवसाद" (ड्राइंग देखें) को एक अद्वितीय "पर्वतीय राजा" के साथ चिंतन करते हैं या "राजकुमारी दलदल" । एक किस्म के रूप में, मिलते हैं किनारा उदाहरण के लिए, न्यूनतम समारोह, नीचे, नीचे दिया गया .

बिंदु पर बुलाना हां, वैसे, शाही संपत्तियों के बारे में: - अर्थ बुलाना ज्यादा से ज्यादा कार्य;

- अर्थ न्यूनतम कार्य।

साधारण नाम -

चरम कार्य। कृपया शब्दों में सावधान रहें! चरम के अंक

- ये "आईसीएस" मान हैं। चरम

- "igarekoy" मान।

! ध्यान दें

: कभी-कभी सूचीबद्ध शर्तें "एक्स-रायरेक" बिंदुओं को कॉल करती हैं, सीधे फ़ंक्शन के ग्राफ पर झूठ बोलती हैं। फ़ंक्शन कितने चरम हो सकता है? कोई नहीं, 1, 2, 3, ... आदि अनंत की ओर। उदाहरण के लिए, साइनस असीम रूप से कई मिनीमा और उच्च है। जरूरी! "अधिकतम कार्य" शब्द पहचान नहीं "अधिकतम फ़ंक्शन मान" शब्द। उस मूल्य को नोटिस करना आसान है स्थानीय परिवेश में जितनी जल्दी हो सके, और वहां एक "मोड़ कामरेड" भी है। इसी प्रकार, "न्यूनतम फ़ंक्शन" "कार्य के न्यूनतम मूल्य" के समान नहीं है, और ड्राइंग में हम देखते हैं कि मूल्य केवल एक विशिष्ट क्षेत्र पर न्यूनतम। इस संबंध में, चरम बिंदुओं को भी कहा जाता है स्थानीय चरम के अंक , और चरम सीमाएं - स्थानीय चरम । वॉक-रोम दूर नहीं और वैश्विक भाइयों। तो, किसी भी पैराबोला के शीर्ष में है वैश्विक न्यूनतम

या

वैश्विक अधिकतम

। इसके बाद, मैं चरम के प्रकारों को अलग नहीं करूंगा, और स्पष्टीकरण सामान्य शिक्षा में अधिक आवाज उठाई गई है - अतिरिक्त विशेषण "स्थानीय" / "वैश्विक" आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए।

सबसे पहले, मैं इराक के साथ ईरान को भ्रमित करने के लिए, एक छोटे शब्दावली सार बनाने और समझने की सलाह देता हूं।

आइए नियंत्रण शॉट्स के सिद्धांत के लिए हमारे छोटे भ्रमण को सारांशित करें: कार्य "एकान्तता के अंतराल और चरम समारोह के बिंदु" को क्या ढूंढता है?

शब्द खोजने के लिए प्रोत्साहित करता है: - समारोह के अंतराल को बढ़ाना / घटाना (बहुत कम लगातार, गैर-वसूली, गैर-वसूली);

- अधिकतम और / या न्यूनतम बिंदु बिंदु (यदि कोई हो)। खैर, तत्काल दूर से, मिनीमा / मैक्सिमा को खुद को ढूंढना बेहतर है ;-) यह सब कैसे निर्धारित करें?

एक व्युत्पन्न समारोह का उपयोग करना! वृद्धि अंतराल कैसे खोजें, अवरोही .

Extremum अंक और चरम कार्य? कई नियम अनिवार्य रूप से ज्ञात और समझने योग्य हैं व्युत्पन्न के अर्थ पर सबक विचार करना

विभेदक कुछ अंतराल समारोह में । फिर:

विभेदक कुछ अंतराल समारोह में - अगर व्युत्पन्न

ध्यान दें अंतराल पर, फिर समारोह

इस अंतराल पर बढ़ता है; इस अंतराल पर घटता है। : निष्पक्ष और रिवर्स आरोप। चलो परिभाषा क्षेत्र से संबंधित है कार्यों । इस बिंदु को कहा जाता है गंभीर

यदि व्युत्पन्न शून्य है: या मूल्य मौजूद नहीं होना। महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु हो सकता है। यह नहीं हो सकता है। बहुत जल्द हम चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों पर विचार करेंगे। लेकिन पहले बिल्लियों पर अभ्यास हम सबसे सरल उदाहरणों से अलग हैं। पुनर्स्थापित व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख

, और कतार में, विश्लेषण के अन्य पीड़ितों। साथ ही छोटे स्व-परीक्षण खर्च करने का अवसर है - आप कितनी अच्छी तरह से याद करते हैं कि वे क्या दिखते हैं महत्वपूर्ण कार्यों के ग्राफ ? एक गंभीर मामले में, निश्चित रूप से, आपको अगले टैब पर पहला सबक खोलना चाहिए और वहां और यहां टिप्पणियों के रूप में क्लिक करना चाहिए। व्युत्पन्न घन समारोह गैर नकारात्मक: किसी भी "एक्स" के लिए। दरअसल, घन पैराबोला "नीचे ऊपर" जाता है। असीम रूप से करीब

समारोह बिंदु के आसपास परिवर्तन गति कार्य शून्य हैं, इसके बारे में व्युत्पन्न मुखपत्र के बारे में क्या चिल्ला रहा है: । और यहां, वैसे, तुरंत एक उदाहरण, जब महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई अधिकतम या न्यूनतम कार्य नहीं होता है। अंतराल पर रहता है और इसकी व्युत्पन्न असमानता निश्चित रूप से दिखाता है कि "एक्स की जड़" अंतराल पर सख्ती से बढ़ रही है एक महत्वपूर्ण बिंदु पर समारोह परिभाषित с लेकिन भिन्न नहीं। ज्यामितीय पदों के साथ कोई आम स्पर्शक नहीं है। हालांकि, सिद्धांत तथाकथित मानता है

ध्यान दें एक तरफा डेरिवेटिव और निर्दिष्ट बिंदु पर मौजूद है राइट-पक्षीय व्युत्पन्न दाईं ओर टेंगेंट । जो लोग इसे अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं, पहले टॉम मटाना धूम्रपान कर सकते हैं।

: पहले पैराग्राफ के अनुसार, बिंदु न्यूनतम कार्य का एक बिंदु नहीं (हालांकि "अवधारणाओं के अनुसार" ऐसा लगता है)। तथ्य यह है कि अधिकतम अंक की परिभाषा और न्यूनतम कार्य के अस्तित्व को शामिल करते हैं और बाएं और दाएं इन बिंदुओं से। इसके अलावा चरम अंक नहीं माना जाता है। Arcsinus और Arcsinus की परिभाषा के क्षेत्र के चरम मूल्य (नीचे देखें)। मानक हाइपरबोले एक "ऊपर नीचे" है, यानी, यह कार्य भर में घटता है

परिभाषा क्षेत्र । इसके व्युत्पन्न को क्या दिखाता है: शून्य को छोड़कर किसी भी "एक्स" के लिए। यहाँ, वैसे, बिंदु समारोह के बाद से महत्वपूर्ण नहीं माना जाता है .

यह इसमें परिभाषित ट्रिट नहीं है।  घातांक प्रकार्य पूरे संख्यात्मक सीधे (किसी भी मूल्य के लिए "x" काफी सख्त असमानता के लिए बढ़ता है )। व्युत्पन्न की खोज .

यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि समारोह इसके विपरीत - घटता है प्राकृतिक लघुगणक क्या करता है आज की रात ? उगता है: अंतराल पर

अगले या एक ड्राइंग पर ड्रा / प्रिंट करें (il बस कल्पना करें कल्पना करें) ग्राफिक्स फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न । जहां कोसाइन शेड्यूल एक्सिस पर है , साइनस बढ़ रहा है। वापस - शेड्यूल कहां है Abscissa धुरी के नीचे स्थित, साइनस घटता है। और उन बिंदुओं पर जहां कोसाइन एक्सिस को पार करता है (

), साइनसॉइड न्यूनतम या अधिकतम तक पहुँचता है। कोसाइन के साथ इसी तरह का इतिहास (हालांकि "अवधारणाओं के अनुसार" ऐसा लगता है)। तथ्य यह है कि अधिकतम अंक की परिभाषा और न्यूनतम कार्य के अस्तित्व को शामिल करते हैं .

और इसके व्युत्पन्न (दूसरे फ्रेम को लेख में कैप्चर किया गया है।

ज्यामितीय चार्ट परिवर्तन )। टंगेंस व्युत्पन्न अंतराल पर रहता है समारोह को तोड़ता है कि समारोह सभी पर बढ़ता है

कोट्टांगेन और उसके व्युत्पन्न के साथ

स्थिति बिल्कुल विपरीत है। अंतराल पर आर्क्सिनस बढ़ता है - यहां व्युत्पन्न सकारात्मक है: .

पर

यह निर्धारित है, लेकिन भिन्न नहीं है। हालांकि, एक महत्वपूर्ण बिंदु पर एक सही पक्षीय व्युत्पन्न और दाएं हाथ का स्पर्शिक है, और दूसरे किनारे पर - उनके बाएं तरफा वीजा।

मुझे लगता है कि आपको Arkskosinus और इसके व्युत्पन्न के लिए समान तर्क लेने में कोई कठिनाई नहीं होगी। सभी सूचीबद्ध मामले, जिनमें से कई हैं :

टेबल डेरिवेटिव

, मैं याद दिलाता हूं, से सीधे पालन करें

व्युत्पन्न परिभाषाएं :

व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन की जांच क्यों करें? बेहतर जानने के लिए कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ कैसा दिखता है : जहां वह नीचे से नीचे चला जाता है, जहां "ऊपर से नीचे तक", जहां मैक्सिमा मिनिमा पहुंचता है (यदि सभी तक पहुंचता है)। सभी कार्य इतने सरल नहीं हैं - ज्यादातर मामलों में हमें किसी फ़ंक्शन या किसी अन्य ग्राफ का कोई जानकारी नहीं है।

यह अधिक सार्थक उदाहरणों पर जाने और विचार करने का समय है

एकाग्रता और चरम अंतराल के स्थान के लिए एल्गोरिदम

उदाहरण 1। बढ़ती / कमी और चरम समारोह के अंतराल खोजें । इस बिंदु को कहा जाता है समाधान .

1) पहले चरण में आपको खोजने की आवश्यकता है .

समारोह परिभाषा क्षेत्र , साथ ही अंतर बिंदु नोट (यदि वे मौजूद हैं) पर ध्यान दें। इस मामले में, समारोह पूरे संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर निरंतर है, और यह क्रिया औपचारिक रूप से कुछ हद तक है। लेकिन कुछ मामलों में गंभीर जुनून हैं, इसलिए, हम बिना किसी उपेक्षा के अनुच्छेद का इलाज करते हैं। 2) एल्गोरिथ्म का दूसरा बिंदु उचित है चरम की prerembestity: अगर बिंदु पर वहाँ एक चरम है .

मौजूद नहीं होना :

अंत में भ्रमित? चरम समारोह "मॉड्यूल एक्स" शर्त आवश्यक है लेकिन :

पर्याप्त नहीं

ध्यान दें और विपरीत बयान हमेशा से काफी दूर है। तो, समानता से यह अभी तक नहीं होना चाहिए कि सुविधा अधिकतम या न्यूनतम बिंदु तक पहुंच जाती है समारोह का पूर्ण कार्य । क्लासिक उदाहरण पहले से ही ऊपर जलाया गया है - यह एक घन पैराबोला है

और उसका महत्वपूर्ण बिंदु लेकिन जैसा कि हो सकता है, आवश्यक चरम सीमा संदिग्ध बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता को निर्धारित करती है। ऐसा करने के लिए, इसे एक व्युत्पन्न पाया जाना चाहिए और समीकरण को हल किया जाना चाहिए

यह सामान्य रूप से निकला

द्विघात समीकरण

सकारात्मक भेदभाव दो महत्वपूर्ण बिंदु प्रदान करता है:

: जड़ों पारंपरिक रूप से के माध्यम से नामित कर सकते हैं विचार करना

, हालांकि के दौरान प्रतिस्थापन सूचकांक के बिना करना अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि वे अतिरिक्त आरक्षण और भ्रम करते हैं ;

, हालांकि के दौरान इसलिए, .

- महत्वपूर्ण बिंदु लेकिन उनमें चरम सीमाएं नहीं हो सकती हैं, इसलिए आपको निर्णय जारी रखने की आवश्यकता है।

3) मैं हमारी मदद करूंगा चरम की पहली पर्याप्त स्थिति, जो संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया गया है: महत्वपूर्ण बिंदु के कुछ पड़ोस में अंतर समारोह को दें .

यदि बिंदु के माध्यम से स्विच करते समय व्युत्पन्न "प्लस" से "माइनस" में चिह्नित करता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंचता है

व्युत्पन्न "माइनस" से "प्लस" से चिह्न को बदलता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंचता है सबकुछ यहां बहुत स्पष्ट है, कल्पना करें - रोसलाह-गुलाब-बढ़ी फ़ंक्शन, और एक निश्चित मोड़ पारित करने के बाद अचानक कमी शुरू हो गई। ज्यादा से ज्यादा। दूसरे मामले में, अनुसूची चल रही थी, वह नीचे की ओर नीचे गई, और जब बिंदु के माध्यम से स्विच किया गया विपरीत दिशा में तैनात। न्यूनतम। पूर्वगामी के आधार पर, यह तार्किक समाधान का पालन करता है: एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष पर, आपको फ़ंक्शन, महत्वपूर्ण बिंदुओं को तोड़ने और अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करने के बिंदु को स्थगित करने की आवश्यकता है

क्षेत्र परिभाषा क्षेत्र में शामिल निरंतरता के साथ माना गया उदाहरण में

सभी प्रकार-शीर्ष, इसलिए हम केवल महत्वपूर्ण बिंदुओं के साथ काम करते हैं। ठीक अंतराल विधि जिसका उपयोग पहले से ही निर्धारित किया जा चुका है समारोह के संकेत के अंतराल । तो व्युत्पन्न के लिए इसका उपयोग क्यों न करें? आखिरकार, व्युत्पन्न एक साधारण प्राणघातक कार्य भी है, आप इसे पाएंगे - और जो भी आप चाहते हैं उसे करें। :ध्यान! .

अब हम एक व्युत्पन्न के साथ काम करते हैं, न कि समारोह के साथ! अमेरिकी पैराबोला से पहले , जिनकी शाखाएं निर्देशित की जाती हैं, और कई पाठक पहले से ही व्युत्पन्न के संकेतों के लिए समझते हैं, लेकिन पुनरावृत्ति के लिए फिर से चरणों में गुजरता है। विधि अंतराल । हम संख्यात्मक प्रत्यक्ष अंक पर स्थगित करेंगे: .

I) कुछ बिंदु अंतराल लें और हमें इस बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य मिलता है। चुनने के लिए अधिक सुविधाजनक इसका मतलब है कि व्युत्पन्न पूरे अंतराल पर नकारात्मक है Ii) एक बिंदु चुनें .

अंतराल , और एक समान प्रभाव ले:

, फलस्वरूप, अंतराल पर Iii) सबसे सुविधाजनक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें अंतिम अंतराल: , इसलिए अंतराल में कहीं भी बढ़ती है नतीजतन, व्युत्पन्न के निम्नलिखित संकेत प्राप्त किए गए थे: फसल इकट्ठा करने का समय!

अंतरालों पर व्युत्पन्न नकारात्मक है, इसका मतलब है कि समारोह ही डेटा अंतराल पर :

कमी , और इसका शेड्यूल "टॉप डाउन" है। औसत अंतराल पर मतलब समारोह पर

और इसका शेड्यूल "नीचे-ऊपर" है। जब बिंदु के माध्यम से स्विचिंग व्युत्पन्न "-" से "+" से संकेत बदलता है, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन पहुंचता है न्यूनतम जब बिंदु के माध्यम से स्विचिंग व्युत्पन्न "+" से "-" से संकेत बदलता है, और फ़ंक्शन पहुंचता है ज्यादा से ज्यादा

इस समय: उत्तर : अंतराल पर कार्य बढ़ता है

और अंतराल पर घटता है एक टेबल बनाएं।। बिंदु पर समारोह न्यूनतम तक पहुंचता है: , और बिंदु पर - ज्यादा से ज्यादा: संक्षिप्त प्रविष्टि से सावधान रहें

। आइकन के तहत आम तौर पर न्यूनतम और अधिकतम मूल्य को समझते हैं, और जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक ही चीज़ से दूर है जो न्यूनतम और अधिकतम है। मांस ग्राइंडर के माध्यम से एक उदाहरण सावधानी से कोट है कि पाप सभी घटनाओं की ग्राफिक छवि का नेतृत्व नहीं कर सकता है। अजनबी लेख का सैद्धांतिक हिस्सा उसकी टोपी लेता है: क्या हुआ? पहले चरण में, हमें एक व्युत्पन्न पाया गया .

और महत्वपूर्ण बिंदु (जिसमें Parabola Abscissa अक्ष द्वारा पार किया जाता है)। फिर अंतराल विधि स्थापित की गई, जहां (एक्सिस के नीचे पैराबोला) और (पैराबोला अक्ष से ऊपर है)। इस प्रकार, व्युत्पन्न की मदद से, हमने बढ़ती / कमी और चरम "नीले" समारोह के अंतराल को सीखा। हालांकि पर्याप्त चंद्रमा की स्थिति के अलावा, दूसरी पर्याप्त स्थिति भी है, हालांकि कार्यों का अध्ययन यह गैर-जानकारीपूर्ण है और इसमें अधिक उपयोग किया जाता है चरम कार्य

पहले लेख की शुरुआत में

ग्राफिक्स समारोह के बारे में

मैंने बताया कि उदाहरण पर एक पैराबोला को जल्दी से कैसे बनाया जाए

: "... पहले व्युत्पन्न ले लो और इसे शून्य से बराबर करें:

... तो, हमारे समीकरण का समाधान:

"यह इस बिंदु पर है कि पैराबोला का शीर्ष है ..."। अब, मुझे लगता है कि हर कोई स्पष्ट है कि पैराबोला का शीर्ष इस बिंदु पर क्यों है =) सामान्य रूप से, यहां एक समान उदाहरण के साथ शुरू करना आवश्यक होगा, लेकिन यह बहुत आसान है (यहां तक ​​कि केतली के लिए भी)। इसके अलावा, एनालॉग के बारे में सबक के बहुत अंत में है

व्युत्पन्न समारोह

व्युत्पन्न परिभाषाएं :

। इसलिए, डिग्री बढ़ाएं: .

उदाहरण 2।

एकरता और चरम समारोह के अंतराल खोजें यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। पूरा समाधान और पाठ के अंत में कार्य की एक अनुकरणीय शुद्ध नमूना समस्या।

आंशिक तर्कसंगत कार्यों के साथ बैठक का लंबे समय से प्रतीक्षित क्षण हो रहा था:

उदाहरण 3। पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके फ़ंक्शन का अन्वेषण करें ध्यान दें कि वास्तव में एक ही कार्य में विविधता को कैसे सुधार किया जा सकता है। 1) कार्य बिंदुओं पर अंतहीन ब्रेक पीड़ित है 2) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाते हैं। पहले व्युत्पन्न पाएं और इसे शून्य से बराबर करें: अमेरिकी पैराबोला से पहले संकल्प समीकरण . । अंश शून्य है, जब इसका संख्यात्मक शून्य होता है: इस प्रकार, हमें तीन महत्वपूर्ण अंक मिलते हैं: .

3) संख्यात्मक प्रत्यक्ष सभी ज्ञात बिंदुओं पर रखो और अंतराल विधि व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि आपको अंतराल के कुछ बिंदु लेने की आवश्यकता है, व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें और इसका संकेत निर्धारित करें। यह भी गिनने के लिए अधिक लाभदायक है, लेकिन मौखिक रूप से "बकवास"। उदाहरण के लिए, बिंदु लें , और एक प्रतिस्थापन बनाओ: दो "प्लस" और एक "माइनस" "माइनस" देता है, इसलिए .

और इसलिए व्युत्पन्न नकारात्मक है और सभी अंतराल पर है कार्रवाई, जैसा कि आप समझते हैं, आपको प्रत्येक छह अंतराल के लिए खर्च करने की आवश्यकता होती है। वैसे, ध्यान दें कि संख्या के गुणक और संप्रदाय जब बिंदु के माध्यम से स्विचिंग

किसी भी अंतराल के किसी भी बिंदु के लिए सख्ती से सकारात्मक, जो कार्य को बहुत सुविधाजनक बनाता है।

अंतरालों पर तो, व्युत्पन्न ने हमें बताया कि समारोह ही

द्वारा बढ़ता है और कम से कम । एसोसिएशन आइकन को तेज करने के लिए एक ही प्रकार के अंतराल आरामदायक हैं। बिंदु पर फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंचता है: बिंदु पर सोचो कि आप दूसरे मूल्य को पुन: संरक्षण क्यों नहीं कर सकते ;-)

और इसका शेड्यूल "नीचे-ऊपर" है। व्युत्पन्न संकेत नहीं बदलता है, इसलिए फ़ंक्शन कोई चरम नहीं है - यह उतर गया और घट रहा है। , और एक प्रतिस्थापन बनाओ: ! एक महत्वपूर्ण बिंदु दोहराएं : अंक व्युत्पन्न "+" से "-" से संकेत बदलता है, और फ़ंक्शन पहुंचता है महत्वपूर्ण नहीं माना जाता है - उनमें समारोह में .

निर्धारित नहीं है । तदनुसार, यहाँ Extremums सिद्धांत रूप में नहीं हो सकता (भले ही व्युत्पन्न हस्ताक्षर बदलता है)। : समारोह बढ़ता है बिंदु पर (-infinity; -1)अधिकतम फ़ंक्शन हासिल किया जाता है: - न्यूनतम: एकरता और चरम अंतराल और सेट का ज्ञान Asympttotami

यह फ़ंक्शन के कार्य की उपस्थिति का एक बहुत अच्छा विचार देता है। मध्य-स्तरीय व्यक्ति मौखिक रूप से निर्धारित करने में सक्षम है कि शेड्यूल फ़ंक्शन

दो ऊर्ध्वाधर विषमताएं हैं

और asymptota इच्छुक

। यहाँ हमारा नायक है:

इस सुविधा के ग्राफ के साथ अध्ययन के परिणामों पर फिर से संबंधित करने का प्रयास करें। एक महत्वपूर्ण बिंदु पर

Extremum नहीं है, लेकिन वहाँ है

इन्फ्लिक्शन ग्राफिक्स बेहतर जानने के लिए कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ कैसा दिखता है (एक नियम के रूप में, यह समान मामलों में होता है)। उदाहरण 4। चरम कार्यों का पता लगाएं उदाहरण 5।

एकाग्रता, मैक्सिमा और न्यूनतम कार्य के अंतराल खोजें

... सीधे कुछ अवकाश "क्यूबा में इक्सा" आज यह पता चला ....

ताआपा, जो इसके लिए पाई जाने की पेशकश करने पर है? =)

प्रत्येक कार्य में इसकी अपनी वास्तविक बारीकियों और तकनीकी subtleties हैं जो पाठ के अंत में टिप्पणी की जाती हैं।

व्युत्पन्न परिभाषाएं जैसा कि नोट किया गया है, कार्य के निष्पादन के दौरान, आपको हमेशा अंतराल और अंतराल की निगरानी करना चाहिए जिनमें शामिल नहीं हैं । घटना यह है कि कभी-कभी ऐसी साइटों पर एक व्युत्पन्न अस्तित्व में हो सकती है! सबसे सरल उदाहरण: प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न अंतराल पर परिभाषित लेकिन लॉगरिदम स्वयं नहीं है। क्षेत्र परिभाषा क्षेत्र में शामिल अंतराल को व्युत्पन्न के साथ नहीं माना जा सकता है! विशिष्ट बैरियर रीफ: उदाहरण 6। एकागोनी अंतराल और चरममास समारोह खोजें

मैं परिस्थितियों का मुकाबला करने और एल्गोरिदम के अंक की संख्या को रोकने के लिए डिजाइन से संपर्क करता हूं। : उदाहरण के बारे में 11 लेख .

संरेखण के अंतराल मिला था  कार्यक्षेत्र यह सुविधा: , जिसका ज्ञान :गंभीर रूप से महत्वपूर्ण हमारे कार्य में ध्यान दें: ऐसा लगता है कि सब कुछ ठीक है: हमारे पास एक जड़ है और परिभाषा क्षेत्र के चरम बिंदु: लेकिन व्युत्पन्न ने एक विशिष्टता दिखायी - यह जन्मजात माता-पिता और अंतराल के विपरीत है .

और इसका शेड्यूल "नीचे-ऊपर" है। । इसके अलावा, बिंदु (महत्वपूर्ण नहीं !!!;)) इस बुरे अंतराल में प्रवेश किया! क्या करें? माँ हमेशा सही होती है, इसलिए हम व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं

केवल फील्ड परिभाषा क्षेत्र के अंतराल पर अंतराल पर कार्य घटता है !

और अंतराल पर बढ़ता है

ताआपा, जो इसके लिए पाई जाने की पेशकश करने पर है? =)

। Extremum अंक (और, ज़ाहिर है, Extremums) अनुपस्थित हैं। अर्थ

यह मामलों में नहीं रहता है, क्योंकि अंतराल पर

बस कोई ग्राफिक्स फ़ंक्शन नहीं

: अंतराल पर कार्य कम हो जाता है

व्युत्पन्न परिभाषाएं और बढ़ रहा है

चरम अनुपस्थित हैं। यदि आप लॉगरिदम या रूट से मिलते हैं तो बहुत सावधान रहें - ऐसे उदाहरणों में आपको बस सम्मान करने की आवश्यकता है

इस प्रकार, समारोह परिभाषा क्षेत्र उदाहरण 7।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक सुखद अनलोडिंग उदाहरण है। और अंतिम उदाहरण शरारती बेटी के एक और साहस के लिए समर्पित है: , और एक प्रतिस्थापन बनाओ: .

और इसलिए व्युत्पन्न नकारात्मक है और सभी अंतराल पर है जब बिंदु के माध्यम से स्विचिंग उदाहरण 8। कार्रवाई, जैसा कि आप समझते हैं, आपको प्रत्येक छह अंतराल के लिए खर्च करने की आवश्यकता होती है। वैसे, ध्यान दें कि संख्या के गुणक उदाहरण 8। Extremum अंक फ़ंक्शन खोजें

और इसका शेड्यूल "नीचे-ऊपर" है। : : समारोह पूरी संख्यात्मक रेखा पर परिभाषित और निरंतर है। महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: बस मामले में, denominator के रूपांतरण का विवरण:

, फिर संख्यात्मक और denominator को "x" को कम करें।

- महत्वपूर्ण बिंदु। मूल्य क्यों (-1; 0)और संप्रदाय , व्युत्पन्न के denominator को शून्य में डेनो, महत्वपूर्ण बिंदुओं के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए? और तथ्य यह है कि एक ही उनमें परिभाषित किया जाता है! स्थिति असामान्य है, लेकिन मानक योजना के अनुसार उलझन में खुलासा है। । एक किस्म के रूप में, मिलते हैं हम परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं: अंतराल पर कार्य बढ़ता है

बिंदु पर कोई Extremum नहीं।

- न्यूनतम बिंदु,

- अधिकतम बिंदु

हालत से, चरम के अंक ढूंढना आवश्यक था और कुछ भी जोड़ें। लेकिन निर्णय में, जैसा कि यह था, चरम की गणना की जाती है और स्वयं ;-)

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आइए इस मूल तस्वीर को देखें:

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(1; + अनंत)

समारोह अलग नहीं है, लेकिन वे अंतहीन डेरिवेटिव और ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा मौजूद हैं (व्युत्पन्न के सिद्धांत को देखें)।

... हाँ, माता-पिता और बच्चे अलग हैं। लेकिन मां का मामा त्रुटि के साथ 95% मामले हैं

जेड '

। मैंने एक सांख्यिकीय अध्ययन किया।

आप शुभकामनाएँ! समाधान और उत्तर:

  1. द्वारा पोस्ट किया गया: एमिलिन अलेक्जेंडर
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आम

आम

फॉर्म पी = एफ (आर) का कार्य परिवर्तनीय मूल्य "आर" या तर्क से इसके मूल्य की निर्भरता है। कार्यात्मक पहचान सरल और जटिल हैं। पहला एक साधारण प्रकार के एक चर से युक्त अभिव्यक्तियों का वर्ग है। दूसरे मामले में, कई तर्क या तर्क भी एक समारोह है, यानी, एक निश्चित कानून के अधीन है।

एकान्त एक समारोह है जो किसी दिए गए अंतराल पर लगातार घट रहा है या बढ़ रहा है। यदि यह लगातार घट रहा है या बढ़ रहा है, तो इसे सख्ती से एकान्त माना जाता है। फ़ंक्शन पी = एफ (आर) दिए जाने दें। यह कुछ अंतराल (ए; बी) पर विभेदित है, जो समानता एफ (आर 1) <= एफ (आर 2) या एफ (आर 1)> = एफ (आर 2) क्रमशः बढ़ रहा है या घट रहा है, मान्य है। इसके अतिरिक्त, आर 1 <R2 या R1 <= R2 को ध्यान में रखना आवश्यक है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंक आर 1 और आर 2 का होना चाहिए (ए; बी)।

जब एफ (आर) सख्त (केवल घट रहा है या बढ़ रहा है - स्थिर), तो साइन "<=" या "> =" को सख्त "<" या ">": एफ (आर 1) <एफ (आर 2) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए ) या एफ (आर 1)> एफ (आर 2) क्रमशः।

ऊपर वर्णित अवधारणाओं को गणितीय विधि के साथ दर्ज किया जा सकता है, जिसे अधिक कॉम्पैक्ट माना जाता है: बढ़ रहा है: ∀ आर 1, आर 2 ∈ (ए; बी): आर 1 <आर 2 ⇒ एफ (आर 1) <= एफ (आर 2)। रिकॉर्डिंग को डिक्रिप्ट किया गया है: किसी भी (∀) अंक आर 1 और आर 2, जिसका स्वामित्व (∈), अंतराल (ए; बी), प्रदान किया गया है कि आर 1 <आर 2, इस प्रकार (⇒) असमानता एफ (आर 1) की पूर्ति (आर 1) <= एफ (आर 2)।

  1. सख्ती से बढ़ रहा है: ∀ आर 1, आर 2 ∈ (ए; बी): आर 1 <आर 2 ⇒ एफ (आर 1) <एफ (आर 2)।
  2. अवरोही: ∀ आर 1, आर 2 ∈ (ए; बी): आर 1> आर 2 ⇒ एफ (आर 1)> = एफ (आर 2)।

कड़ाई से घट रहा है: ∀ आर 1, आर 2 ∈ (ए; बी): आर 1> आर 2 ⇒ एफ (आर 1)> एफ (आर 2)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ़ंक्शन की एकाग्रता के अंतराल को अंतराल कहा जाता है जिन पर यह बढ़ता है या घटता है। परिभाषाओं के बाद, मुख्य प्रमेय को विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए संबंधों के उपयोग की अनुमति देने के लिए आवश्यक है।

सीमा पर प्रमेय मोनोटोन फ़ंक्शन के सीमा प्रमेय का उपयोग सीमाओं का उपयोग करके उच्च गणित पर समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इसका शब्द निम्नानुसार है: यदि फॉर्म पी = एफ (आर) का कार्य अंतराल (ए; बी) पर भिन्न और नीरस है, तो निर्दिष्ट अंतराल से संबंधित बिंदु आर 0 पर, यह बाईं ओर अंतिम सीमा है और दाएं तरफ, और अंक पर आर 0 = ए और आर 0 = बी यह सही पक्षीय और बाएं तरफा सीमाएं मौजूद है।

  • दावा साबित करने के लिए, आपको कुछ फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना चाहिए जो मोनोटोन है। इसके अलावा, यह कुछ अंतराल [ए; बी] में बढ़ना चाहिए। उसके बाद, आपको किसी भी बिंदु r0 ∈ (a; b] चुनने की जरूरत है। परिणामस्वरूप, ∀ आर ∈ [ए; आर 0) ⇒ एफ (आर) <= एफ (आर 0) ⇒ एफ (आर) उपरोक्त से सीमित है [ए; आर 0) ⇒ ऊपरी सीमा (Sup) फ़ंक्शन f (r) = m <= f (R0) के मौजूदा (∃ - साइन का संकेत) पर ⇒ ∀ आर ∈ [ए; आर 0) ⇒ एफ (आर) <= एम के लिए परिभाषा के अनुसार
  • यह माना जाना चाहिए कि कुछ परिवर्तनीय "ई" है, जो शून्य से अधिक है। यह वर्तमान अंतराल पर भी परिभाषित किया गया है। नतीजतन, असमानता एम - ई <एफ (ई) किया जाता है। चलो क्यू = आर 0 ई और टी बाएं सीमा 0 - क्यू के साथ आर 0 का मूल्य बनें। यदि स्थिति ∀ r ∈ (e; r0) = (t; r0), तो f (e) <= f (r)। नतीजतन, यह पता चला है कि ∀ Е> 0 ∃ Q> 0 आर ∈ (टी; आर 0) के लिए: एम - ई <एफ (ई) <एफ (आर) <= एम <एम + ई। नतीजतन, | एफ (आर) - एम | <ई। बाएं सीमा जिसमें एक्स बिंदु आर 0 के लिए प्रयास करता है: लिम [एफ (आर)] | (आर -> आर 0 - 0) = एम। यह इस संबंध का पालन करता है: एफ (आर 0 - 0) = सुपर एफ (आर), ए <= R <r0।
  • उसी तरह, बिंदु r0 ∈ [a; b) पर सही पक्षीय सीमा साबित हुई है। इस तरह का संबंध प्राप्त किया जाता है: एफ (आर 0 + 0) = inf f (r), r0 <r <= b। प्रमेय साबित हुआ है।
निम्नलिखित कथन का निर्माण केवल सख्ती से बढ़ते मोनोटोन फ़ंक्शन के लिए है। पहले मामले में, यह एक नहीं किया जाना चाहिए, और दो स्थितियां: एफ '(आर)> 0 और एफ' (आर) अंतराल से संबंधित किसी भी बिंदु पर अंतराल पर शून्य के बराबर है। सख्ती से घटती स्थितियों के लिए, शर्तें पिछले लोगों से थोड़ी अलग हैं: एफ '(आर) <0 और व्युत्पन्न एफ' (आर) भी निर्दिष्ट अंतराल पर शून्य मान के बराबर नहीं है। तीसरा प्रमेय आपको किसी दिए गए बिंदु r0 ∈ (a; b) पर एकोनोनी पी = एफ (आर) के चरित्र को निर्धारित करने की अनुमति देता है। संबंधों के दो प्रकार हैं: F '(R0) <0 और बढ़ने के लिए: एफ' (आर 0)> 0।

इसके अलावा, सीमा की मंजूरी के प्रमाण में प्राप्त जांच की जाती है:

बढ़ रहा है: एफ (आर 0 - 0) = लिम [एफ (आर)] | (आर -> आर 0 - 0) <= lim [f (r)] | (r -> r0 + 0) = f (R0 + 0) ।

अवरोही: एफ (आर 0 - 0) = लिम [एफ (आर)] | (आर -> आर 0 - 0)> = लिम [एफ (आर)] | (आर -> आर 0 + 0) = एफ (आर 0 + 0) ।

सुपर और inf के गणितीय नोटेशन को समझने के लिए, फ़ंक्शन मानों का एक सेट सबमिट करना आवश्यक है। पहला शब्द ऊपर से अधिकतम मूल्य को दर्शाता है, और दूसरा नीचे न्यूनतम है। बढ़ते और उतरने के लिए मानदंड

तालिका 1. मोनोटोनिटी अंतराल।
  • ऐसे कुछ ऐसे संकेत हैं जिनके लिए फ़ंक्शन पी = एफ (आर) की एकरता को कुछ अंतराल (ए; बी) पर निर्धारित किया जा सकता है।
  • इसके लिए, गणित में तीन प्रमेय हैं:
  • घटने और बढ़ने के लिए।
  • यदि यह सख्ती से घट रहा है या सख्ती से बढ़ रहा है।
  • बिंदु, व्युत्पन्न और अंतराल पर परिभाषा।

पहले प्रमेय के पास इस तरह का एक शब्द है: अंतराल पर अंतर समारोह पी = एफ (आर) (ए; बी) कम है जब असमानता एफ '(आर) <= 0, और एफ' (आर)> = के साथ बढ़ रहा है 0, क्रमशः (आर ∈ इस अंतराल पर)।

निम्नलिखित कथन का निर्माण केवल सख्ती से बढ़ते मोनोटोन फ़ंक्शन के लिए है। पहले मामले में, यह एक नहीं किया जाना चाहिए, और दो स्थितियां: एफ '(आर)> 0 और एफ' (आर) अंतराल से संबंधित किसी भी बिंदु पर अंतराल पर शून्य के बराबर है। सख्ती से घटती स्थितियों के लिए, शर्तें पिछले लोगों से थोड़ी अलग हैं: एफ '(आर) <0 और व्युत्पन्न एफ' (आर) भी निर्दिष्ट अंतराल पर शून्य मान के बराबर नहीं है। तीसरा प्रमेय आपको किसी दिए गए बिंदु r0 ∈ (a; b) पर एकोनोनी पी = एफ (आर) के चरित्र को निर्धारित करने की अनुमति देता है। संबंधों के दो प्रकार हैं: F '(R0) <0 और बढ़ने के लिए: एफ' (आर 0)> 0।

मूल गुण

  • अंतराल पर कार्यों के लिए (ए; बी), समग्र अभिव्यक्तियों की जांच करने के साथ-साथ विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए कुछ बयान भी हैं।
  • नीरस कार्यों के गुणों में निम्नलिखित शामिल हैं:
  • दो घटते (बढ़ते) के = एफ (टी) और एल = एफ (वी) का योग एक बढ़ती (घटती) अभिव्यक्ति है।
  • यदि k = f (t) बढ़ता है, तो -k = f (t) (विपरीत) घट जाएगा। जबकि पहले दूसरे को कम करना तदनुसार बढ़ जाएगा।

जब के = एफ (टी), एक रिवर्स व्यू k2 = 1 / f (टी) है, तो पहले दूसरे को कम करने पर वृद्धि होगी। यदि पहली बढ़ती है, तो दूसरा घटता है।

दो घटते (बढ़ने) के काम का परिणाम एक घटती कार्य है। ऐसी स्थितियों को भी किया जाना चाहिए: के = एफ (टी)> = 0 और एल = एफ (वी)> = 0।

यदि के = एफ (टी) (ए; बी) पर बढ़ता है या घटता है, और एल = एफ (टी) बढ़ता है या घटता है (सी; डी), और (ए; बी) (सी; डी) में शामिल है रचना कार्यों k∘ l (k (l (t))) भी बढ़ता है या घटता है।

यदि फ़ंक्शन भी है, तो यह सुविधा परिणाम को प्रभावित नहीं करती है, क्योंकि इसका व्युत्पन्न नकारात्मक संकेत के साथ हो सकता है। एक उदाहरण सामान्य त्रिकोणमितीय कोसाइन है।

प्रमेय और मूल गुणों का अध्ययन करने के बाद, किसी भी अभिव्यक्ति की एकता पर अध्ययन के लिए आवश्यक न्यूनतम ज्ञान का निर्धारण करना आवश्यक है। इसके अलावा, आपको कुछ कार्यों के ग्राफ जानना चाहिए। उन्हें बनाने के लिए, आप विभिन्न रंगों के साथ परिणाम आवंटित करने के लिए विशेष ऑनलाइन कैलकुलेटर और प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

बुनियादी ज्ञान एकान्तता पर कार्य का अध्ययन करने के लिए, विशेषज्ञों को सलाह दी जाती है कि वे कुछ नियमों द्वारा निर्देशित किए जाएं जो सार्वभौमिक एल्गोरिदम में संयुक्त हैं। इस तरह के कार्य को पूरा करने के लिए पर्याप्त है और इसमें निम्नलिखित रूप हैं:

  • पहला ऑर्डर व्युत्पन्न - एफ '(आर) खोजें।
  • पहले पैराग्राफ में प्राप्त अभिव्यक्ति को 0 तक प्राप्त करें।
  • दूसरे पैराग्राफ में समीकरण को हल करने के लिए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
  • महत्वपूर्ण बिंदुओं द्वारा विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त अंतराल पर साइन एफ '(आर) का निर्धारण करें। उतरने और बढ़ने के अंतराल का पता लगाएं।
  • अंतिम आइटम को एक तालिका का उपयोग करके लागू किया जाना चाहिए। एल्गोरिदम का सख्ती से पालन करना आवश्यक है, क्योंकि गलत क्रियाएं परिणाम को काफी प्रभावित करने में सक्षम हैं।

एक व्युत्पन्न ढूँढना

व्युत्पन्न की खोज करने के लिए, आपको ऐसे चरणों को करने की आवश्यकता है: निरंतर बनाने के लिए, अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और प्राथमिक कार्यों (चित्र 1) के विभेदकों की तालिका का उपयोग करें। पहले दो तत्वों को प्रारंभिक माना जाता है, क्योंकि यह आपको गणना प्रक्रिया को अनुकूलित करने की अनुमति देता है। सरल बनाने के लिए, संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का उपयोग किया जाना चाहिए, अंशों के गुण, गुणक का विस्तार, आदि। सरलीकृत रूप में अभिव्यक्ति लाने के बाद, आपको व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यों की तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है।

चित्रा 1. सरल अभिव्यक्तियों के अंतर।

हालांकि, कार्यों को हल करते समय, सरल अभिव्यक्ति हमेशा नहीं आती हैं।

इस प्रकार, किसी निश्चित अवधि में समारोह की एकरता की परिभाषा इसके व्यवहार के अध्ययन के तत्वों में से एक है। इस ऑपरेशन को लागू करने के लिए विशेष एल्गोरिदम, प्रमेय और गुण का उपयोग किया जाता है।
  1. समग्र के लिए, कुछ नियम हैं:
  2. योग: [के (टी) + एल (टी)] '= के' (टी) + एल (टी)।
  3. अंतर: [के (टी) - एल (टी)] '= के' (टी) - एल '(टी)।

उत्पाद: [के (टी) * एल (टी)] '= के' (टी) * एल (टी) + एल '(टी) * के (टी)।

निजी: [के (टी) / एल (टी)] '= [के' (टी) * एल (टी) - एल '(टी) * के (टी)] / (एल (टी)) ^ 2।

Compless: [k (l (t))] '= l' (t) * k '(t)।

कार्यक्रमों के उपयोग की जांच के लिए विशेषज्ञों की सिफारिश की जाती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि कार्यों को केवल ऑनलाइन सेवाओं और गणितीय पैकेजों की सहायता से हल किया जाना चाहिए।

रूट समीकरण और महत्वपूर्ण बिंदु

  • अगला कदम एक अज्ञात के साथ समानता को हल करना है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समीकरण निम्नलिखित प्रकारों में विभाजित हैं: रैखिक, वर्ग, घन, बाइकलेट, त्रिकोणमितीय, लॉगरिदमिक, बिजली, घातीय और तर्कहीन।
  • पहला प्रकार एक बहुत ही सरल एल्गोरिदम पर हल किया गया है: एक भाग के लिए अज्ञात स्थानांतरित किया जाना चाहिए, और दूसरे को जाना जाना चाहिए। वर्ग समीकरण (AW ^ 2 + BW + C = 0) को हल करने के लिए, इसे सरल बनाना, गुणक पर विघटित करना या भेदभाव की गणना करना आवश्यक है। उत्तरार्द्ध की गणना निम्न सूत्र के अनुसार की जाती है: डी = बी ^ 2 - 4एसी। जड़ों की संख्या मूल्य डी पर निर्भर करती है और इस तरह के सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:
  • डी> 0: डब्ल्यू 1 = (-बी - [डी] ^ (1/2)) / 2 ए और डब्ल्यू 2 = (-बी + [डी] ^ (1/2)) / 2 ए के लिए दो समाधान।
  • डी = 0 (एक): डब्ल्यू = (-बी) / 2 ए।
y D <0 होने पर कोई जड़ें नहीं। गुणक पर अपघटन की विधि का उपयोग करके, इसे बिना डी के हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति एक्स (एक्स -1) (एक्स -4) = 0 में, तीन समीकरणों पर विचार किया जाता है: x1 = 0, x2 -1 = 0 और एक्स 3 - 4 = 0. क्यूबिक समाधान और बीआईसी-ड्यूटी एक अज्ञात के बराबर बराबर गुणक द्वारा अपघटन द्वारा किया जाता है। उसी समय, 2 तक की डिग्री घट जाती है, और फिर इसकी जड़ें होती हैं। अन्य समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करें, और फिर रैखिक या वर्ग को कम करें। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनुवर्ती अनुवांशिक (लॉगरिथम्स और संकेतक) को अव्यवस्थित और डिग्री गुणों के नियमों के बारे में अवगत होना चाहिए। जड़ों भी प्रतिस्थापन के साथ स्थित हैं। महत्वपूर्ण अंक कहा जाता है जिसमें फ़ंक्शन अपने व्यवहार को बदलता है (समानता, आवृत्ति, चरम, आदि)। अध्ययन में, वे अंतराल के रूप में व्यवहार की एक विशेष तालिका में दर्ज किए जाते हैं।
एक समाधान का एक उदाहरण - + - +
z У В У В

कार्य कई प्रकार हैं। कुछ में, एकान्तता के अंतराल को पाया जाना चाहिए, और दूसरी बात यह है कि यह किसी दिए गए अंतराल में बढ़ोतरी या घटता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन z (y) = (y ^ 2 + 1) / y के एकान्तता के अंतराल को ढूंढना आवश्यक है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इसे विभेदित किया गया है। परिभाषा का क्षेत्र डी (z) = (-besphese; 0) u (0; + अनंत)। एल्गोरिदम के अनुसार इसे हल करना आवश्यक है:

मोनोटोनिटी अंतराल और चरममास समारोह

व्युत्पन्न: [(y ^ 2 + 1) / y] '= (y ^ 2 - 1) / y।

0 के बराबर: (y ^ 2 - 1) / y = 0।

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