Манекендерге арналған векторлар. Векторлары бар әрекеттер. Векторлық координаталар.

Манекендерге арналған векторлар. Векторлары бар әрекеттер.

Векторлық координаталар. Векторлармен қарапайым тапсырмалар Ақыры мен кең және көптен күткен тақырыпқа қол жеткіздім Аналитикалық геометрия . Біріншіден, жоғары математиканың осы учаскесі туралы аздап ... Сіз қазір мектеп геометриясының барысын көптеген теоремалармен, олардың дәлелдері, сызбалары және т.б. Студенттердің маңызды үлесі үшін не жасыру керек, сүймейтін және көбінесе қол жетімді тақырып. Аналитикалық геометрия, таңқаларлық, қызықты және қол жетімді болып көрінуі мүмкін. Сын есім «аналитикалық» нені білдіреді? Екі мөрленген математикалық айналым бірден ойға келеді: «Графикалық шешім әдісі» және «Аналитикалық шешім әдісі». Графикалық әдіс Анық, сызбалар, сызбалар салумен байланысты. Аналитикалық Бірдей әдіс Тапсырмаларды шешуді болжайды негізінен

Алгебралық акция арқылы. Осыған байланысты, аналитикалық геометрияның барлық шешімдер алгоритмі қарапайым және айқын, көбінесе қажетті формулаларды ақырын жағыңыз - және жауап дайын! Жоқ, әрине, мұнда сызбаларсыз бұл шығындарсыз, бұдан басқа, материалды жақсы түсіну үшін мен оларды қажеттіліктен жоғары көтеруге тырысамын.

Геометриядағы сабақтардың ашылу деңгейі теориялық толықтықты талап етпейді, ол практикалық тапсырмаларды шешуге бағытталған. Мен дәрістеріме кірдім, тек менің көзқарасым бойынша, практикалық тұрғыдан маңызды. Егер сізге кез-келген бөлімшеге сәйкес толық сертификат қажет болса, мен келесі өте жақсы әдебиеттерді ұсынамын: 1) Әзілсіз, бірнеше ұрпаққа таныс нәрсе: Геометриядағы мектеп оқулығы , Авторлар - Л.С. Атанасян және Компания

. Мектеп киетін бөлмеде бұл ілгіш 20 (!) Қайта басып шығаруға төтеп бере алады, бұл, әрине, шек жоқ. 2) 2 томдық геометрия . Авторлар Л.С. Атанасян, Базилев В.Т. . Бұл жоғары білімге арналған әдебиеттер, сізге қажет Бірінші том

. Менің көзқарасым бойынша сирек кездесетін міндеттер құлап кетуі мүмкін, ал оқулықта баға жетпес көмек көрсетіледі. Аспаптық қорлардан мен өзімнің дамуымды ұсынамын - Бағдарламалық жасақтама пакеті

Аналитикалық геометрия бойынша, ол өмірді айтарлықтай жеңілдетеді және уақыт аралығын үнемдейді.

Оқырман негізгі геометриялық тұжырымдамалармен және цифрлармен таныс деп болжанады: нүкте, тікелей, жазықтық, үшбұрыш, параллелограмма, параллел эланты, текше және т.б. Кейбір теоранттарды, кем дегенде, Пифагораның теоремасы, 10-шы жылы сәлем) есте ұстаған жөн. Енді біз дәйекті түрде қарастырамыз: вектор тұжырымдамасы, векторлары бар әрекеттер, векторлық координаталар. Келесі мен оқуды ұсынамын Ең маңызды мақала Скаляр өнімдерінің векторлары , және де и Сызықты (емес) векторлық тәуелділік. Базалық векторлар Векторлық және аралас көркемөнер векторлары . Жергілікті міндет тым көп емес - сегментті осы тұрғыдан бөлу. Жоғарыдағы ақпарат негізінде сіз игере аласыз с Жазықтықтағы тікелей теңдеу Ерітінділердің қарапайым мысалдары Не мүмкіндік береді Геометриялық қиындықтарды шешуді үйреніңіз . Келесі мақалалар да пайдалы: , Ғарыштағы жазықтықтың теңдеуі Кеңістікке тікелей теңдеулер

Тікелей және жазықтықтың негізгі міндеттері, аналитикалық геометрияның басқа бөлімдері. Әрине, типтік міндеттер қаралады.

Сонымен қатар, кітапты сайт жасайды!

... Иә, болды! - ACES теориясын жеңілдетіңіз және мүмкіндігінше тезірек шешіңіз! Жобаның қолдауы үшін рахмет.

Вектор тұжырымдамасы. Тегін вектор Алдымен біз вектордың мектеп анықтамасын қайталаймыз. Вектор қоңырау шалу бағытталған 9-мысал.Оның басталуы және соңы көрсетілген сегмент: Бұл жағдайда сегменттің басталуы - нүкте , кесу - нүкте . . Вектордың өзі көрсетіледі Бағыт Егер сіз көрсеткіні сегменттің екінші ұшына қайта бөлген болсаңыз, онда вектор болады және ол қазірдің өзінде Мүлдем басқа вектор

. Вектор тұжырымдамасы физикалық дененің қозғалысын анықтау ыңғайлы: сіз көресіз: сіз көріп отырсыз, институттың есігіне барасыз немесе институттың есігінен шығу мүлдем басқа нәрселер. Ұшақтың жекелеген нүктелері, кеңістік деп аталатын ыңғайлы Нөлдік вектор

. Осындай векторда соңы және басталуы сәйкес келеді. !!! Ескерту:

Бұдан әрі ол векторлар бірдей жазықтықта жатыр деп санауға болады немесе сіз олардың ғарышта орналасады деп санауға болады деп санауға болады - бұл көрсетілген материалдың мәні ұшақ пен кеңістік үшін де жарамды. Белгілер: Көбісі бірден назарын таяқшаға назар аударыңыз Олар: «Штартқа әлі де көрсеткі бар! Рас, сіз көрсеткімен жаза аласыз: Бірақ рұқсат етілген және Хаттама Мен болашақта қолданамын . Неге? Шамасы, мұндай әдет практикалық пікірлерден дамыған, мектеп пен университеттегі жебімдерім тым сараланған және шаңғымен айналысқан. Оқу әдебиеттерінде кейде олар сағаттармен мазаламайды, бірақ хаттарды қалың түрде бөледі:

, Айтайын дегенім, бұл вектор.

Бұл стиль болды, енді векторларды жазу әдістері туралы: 1) Векторларды екі үлкен латын әріпімен жаза алады: тағыда басқа. Сонымен бірге бірінші хат міндетті түрде

Вектордың басталуын және екінші әріптің - нүктелік векторды көрсетеді. 2) Векторлар кішкентай латын әріптерін жазады: Атап айтқанда, біздің векторымыз .

Сіз аздап латын хатын бере аласыз Ереуазареу немесе модуль Нөлдік вектор Кесу ұзындығына қоңырау шалды . Нөлдік вектордың ұзындығы

нөлге тең. Логикалық. ,

Вектордың ұзындығы модульдің белгісімен көрсетіледі:

Вектордың ұзындығын қалай табуға болады (немесе кімге, кімдерге) кейіннен біраз уақыттан кейін үйренеміз. Барлық мектеп оқушыларына таныс вектор туралы қарапайым ақпарат болған. Аналитикалық геометрияда, деп аталады .

Тегін вектор Егер ол қарапайым болса - :Бұл тәуелсіз шешім үшін тапсырма.

Векторды кез келген нүктеден кейінге қалдыруға болады. Біз мұндай векторларды атайтын едік (тең векторлардың анықтамасы төменде келтірілген), бірақ тек математикалық тұрғыдан алынған. Бұл бірдей вектор немесе Тегін вектор

. Неліктен тегін? Себебі тапсырмаларды шешу кезінде сіз кез-келген немесе басқа векторды, ұшақтың немесе сізге қажет орынның нүктесінде «тіркей аласыз». Бұл өте керемет мүлік! Бағытталған ұзындығы мен бағыттарының бағыты бар деп елестетіп көріңіз - ол шексіз сандарды «клондауға» және кез-келген кеңістіктегі кез-келген уақытта, іс жүзінде ол барлық жерде бар. Осындай студенттердің қосымша ақысы бар: вектор арқылы F ** Y-де әр лекторға. Өйткені, жай ғана тапқыр рифма емес, бәрі дерлік дұрыс - бағытты сегменттерді сол жерге қосуға болады. Бірақ қуануға асықпаңыз, студенттердің өздері жиі зардап шегеді =) Біз мұндай векторларды атайтын едік (тең векторлардың анықтамасы төменде келтірілген), бірақ тек математикалық тұрғыдан алынған. Бұл бірдей вектор немесе Солай - бұл бір топ бірдей бағытталған сегменттер. Мектептің анықтамасы Параграфтың басында берілген вектордың анықтамасы: «Векторлық бағытталған ...» деп аталады ... » айрықша

Осы жиынтықтан алынған бағытты сегмент, ол ұшақтың немесе кеңістіктің белгілі бір нүктесіне байланған. Айта кету керек, физика тұрғысынан, жалпы жағдайда ақысыз вектор туралы түсінік дұрыс емес, ал қолдану нүктесі маңызды. Шынында да, мұрынға немесе маңдайдағыдай күшке тікелей соққы Менің ақымақ мысалымды дамыту үшін жеткілікті Әр түрлі салдарлар болады. Алайда, Тегінсіз

Векторлар кездеседі және хабарлайды (бармаңыз :)).

Әрі қарай, егер басқаша келісілмесе, ол тек тегін векторлар туралы болады.

Векторлары бар әрекеттер. Колинариялық векторлар Геометрия оқу жылы ішінде векторлармен бірқатар іс-шаралар мен ережелер қарастырылған: Үшбұрыштың ережесін, параллельдің ережелеріне, векторлық айырмашылық ережелеріне сәйкес қосу, векторлық көбейту, векторлық көбейту, векторлардың скалярлық өнімі және т.б.

Тұқым үшін біз аналитикалық геометрия мәселелерін шешуге қатысты екі ережені қайталаймыз.

Үшеулер ережесіне сәйкес векторларды қосу ережесі  и :Қандай қорытынды? Көптеген аналитикалық геометрия тапсырмалары ашық және қарапайым, ең бастысы - есептеу қателерінің алдын алу. Келесі ұсынылған оқу сабақтары:

Екі ерікті нөлдік векторды қарастырыңыз Бұл векторлардың мөлшерін табу қажет. Барлық векторлар тегін болып саналатындығына байланысты векторды кейінге қалдырыңыз -ден Соңы :!!! Скаляр өнімдерінің векторлары

Вектор  и Векторлардың қосындысы вектор . Ондағы ережені жақсырақ түсіну үшін, физикалық мағынаны инвестициялау ұсынылады: кейбір организм векторға апарсын содан кейін вектор . Содан кейін векторлардың қосындысы алынған жолдың векторы

Басынан бастап кету нүктесінде және келу нүктесінде аяқталады. Осыған ұқсас ереже векторлардың санына арналған. Олардың айтуынша, дене зигзагтан қатты жол бере алады, мүмкін, автопилотқа - алынған векторлық нәтижеге сәйкес. Айтпақшы, егер вектор болса мерзімін ұзарту Соңы Жүргізу Содан кейін ол баламалы болады Лолтарограмма ережесі

Векторларды қосу.

Вектордың саны бойынша көбейту Алдымен векторлардың соинарлығы туралы. Екі вектор деп аталады Кепік

Егер олар бір түзу сызықта немесе параллель сызықтарда жатса. Шамамен айтқанда, біз параллель векторлар туралы айтып отырмыз. Бірақ оларға қатысты «CollInear» сын есім әрқашан қолданады. Екі коллайзиялық векторды ұсыныңыз. Егер осы векторлардың көрсеткі бір бағытта бағытталған болса, онда мұндай векторлар шақырылады Жазылған . Егер көрсеткілер әртүрлі бағытта көрінсе, онда векторлар болады .

Бұдан әрі ол векторлар бірдей жазықтықта жатыр деп санауға болады немесе сіз олардың ғарышта орналасады деп санауға болады деп санауға болады - бұл көрсетілген материалдың мәні ұшақ пен кеңістік үшін де жарамды. Керісінше бағытталған Векторлардың соинарлығын әдеттегі параллелизм белгішесімен жазады: Толығырақ: (Векторлармен қапталған) немесе

(векторлар қарама-қарсы бағытталған). модуль Жұмыс Нөмір Мұндай вектор ұзындығы тең  и және векторлар Сияқты .

Және керісінше бағытталған Бұл, осылайша, вектор-минималды студент =)

Векторлық көбейту ережесі сызбамен түсіну оңай:

Біз толығырақ түсінеміз: 1) бағыт. Егер мультипликатор болса Теріс, содан кейін вектор Бағытты өзгертеді

Керісінше. 2) ұзындығы. Егер мультипликатор кірсе немесе Содан кейін вектордың ұзындығы Төмен қаражат . Сонымен, векторлық ұзындық Вектордың ұзындығынан екі есе аз . Егер мультипликатор болса Модуль Қосымша бірлік, содан кейін вектордың ұзындығы в Артады

Бір рет. 3) Мұны ескеріңіз Барлық векторлар . Сонымен бірге, бір вектор екіншісімен, мысалы, Керісінше әділетті : Егер бір вектордан екіншісімен айтуға болады, содан кейін мұндай векторлар міндетті түрде қысылып кетеді. Осылайша: Егер біз векторды санға көбейтсек, содан кейін коллинар (Бастапқыға қатысты) .

вектор 4) векторлар  и Ұйыммен. Векторлар

Сондай-ақ, бірлесіп бақыланады. Бірінші топтың кез-келген тобының кез-келген тобының кез-келген тобы басқа екінші топқа бағытталған.

Қандай векторлар тең? Егер олар біртұтас болса және ұзындығы бірдей болса, екі вектор тең.

. Салқындатқыш векторлардың дауысын білдіреді. Егер сіз: «Егер олар қысылса, екі вектор тең болса, онда екі вектор тең болады), ол бірдей болса, ұзындығы бірдей болады».

Тегін вектор тұжырымдамасы тұрғысынан тең векторлар бұрынғы абзацта болған дәл осы вектор болып табылады.

Ұшақ пен кеңістіктегі вектордың координаттары Бірінші нүкте ұшақта векторларды қарастырыңыз. Мен декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін суреттеймін және координаттардың басынан кейінге қалдырамын тұрмысқа шықпаған  и :

Махаббат векторлары, векторлар сізді жақсы көреді!

Векторлар  и  Векторлар ортогональ . Ортогонал = перпендикуляр. Мен баяу қолдануды ұсынамын, терминалдарға баяу үйренуді ұсынамын: параллелизм мен перпендикулярлық емес, біз сөздерді сәйкесінше қолданамыз и Соқтығысу .  

ортогоналит Белгілеу: .

Векторлардың ортогонализациясы әдеттегі перпендикулярлық белгішемен жазылады, мысалы: Қарастырылып отырған векторлар деп аталады Ереуазареу Үйлестіру векторлары орталық . Бұл векторлар пайда болады негіз бетіне. Негізгісі, менің ойымша, көптеген түсінікті, толығырақ ақпаратты мақалада табуға болады. Сызықты (емес) векторлық тәуелділік. Базалық векторлар

. Сыйырлы сөздер, координаттардың негізі мен басталуы бүкіл жүйені орнатады - бұл толық және қаныққан геометриялық өмір қайнайды. Кейде деп аталатын негіз Ортонинация

ортогоналит Ұшақтың негізі: «ORTO» - координаталық векторлар ортогональды болғандықтан, сын есім «қалыпқа келтірілген» дегенді білдіреді, яғни I.e. Базалық векторлардың ұзындығы оған тең. Негізі әдетте жақшаларда жазылады қатаң реттілікпен Базалық векторлар тізімделеді, мысалы: . Үйлестіру векторлары тыйым салынады

Жерлерде қайта оралу. Іркім вектор Жазықтық Жалғыз жол формада көрсетілген:  – ,,, мұнда сандар қоңырау шалу Вектордың координаттары Осы базада. Және өрнектің өзі қоңырау шалу Вектордың ыдырауы .

Негізгі білім беру

Шешімдер мен жауаптар:

!Кешкі ас қызмет етті:

Барлығы бәрін мұқият оқып шығыңыз! Алфавиттің бірінші әрпінен бастайық:  и . Суреттің айтуынша, вектор негізі негізі болған кезде, жай ғана қарастырылғаны анық көрсетілген: .

1) Себебі векторлық көбейту ережесі: ; 2) Үшбұрыш ережесінің векторларын қосу: Енді ақыл-ойды ақыл-ойға бөліңіз

Векторлар , Ұшақтың кез келген басқа нүктесінен. Әлбетте, оның ыдырауы «Оған« сөзсіз »болады. Бұл жерде вектордың бостандығы - «барлығы сізбен бірге киіледі» векторы. Бұл сипат, әрине, кез-келген вектор үшін дұрыс. Негізгі (ақысыз) векторлардың өздері күлкілі Координаттардың басынан кейінге қалдырудың қажеті жоқ, мысалы, сол жақта, мысалы, төменгі жағына, ал екіншісі оң жақта, ал одан ештеңе өзгермейді! Рас, мұны істеудің қажеті жоқ, өйткені мұғалім сонымен қатар өзіндік ерекшелігін көрсетіп, күтпеген жерден «несиеге» түседі. Сөйлем бойынша векторды көбейту ережесін, вектордың дәл ережесін суреттеңіз Негізгі вектормен жазылған , вектор негізгі векторға қарсы бағытталған

. Векторлардың мәліметтері координаттардың бірі - нөлге тең, оны жазуға болады: , Айтпақшы, негізгі векторлар, солай: , (Негізінде олар өздерін өздері арқылы білдіреді).

Ақыр соңында: . Айтпақшы, векторларды азайту дегеніміз не және неге мен шегерім туралы ереже туралы айттым? Сызықтық алгебра бір жерде, мен қайда екенін есімде жоқ, мен бөлудің ерекше жағдайы екенін атап өткім келеді. Осылайша, «DE» және «E» векторларының ыдырауы үнсіз, бұл сома түрінде жазылады: . Сызбаларды қадағалаңыз, өйткені үшбұрыштың ережелеріне сәйкес векторлардың ескі жақсы қосылғаны осы жағдайларда нақты жұмыс істейді. Типтегі ыдырау деп саналды

Кейде вектордың ыдырауы деп аталады

ORT жүйесінде  и

(I.e. бір векторлар жүйесінде). Бірақ бұл векторды жазудың жалғыз тәсілі емес, келесі опция таратылады:

Немесе теңдік белгісімен: Негізгі векторлардың өздері келесідей жазылған: . Яғни, жақшада вектордың координаттары көрсетілген. Практикалық тапсырмаларда барлық үш жазба нұсқасы қолданылады. Айту керек пе, бірақ мен әлі айтамын: , Векторлардың координаттарын қайта өзгерту мүмкін емес Бірінші кезекте қатаң Құрылғы векторына сәйкес келетін координатаны жазыңыз  и Екінші орында

Құрылғы векторына сәйкес келетін координатаны жазыңыз Жариялады: Емелин Александр

. Шынында, - Бұл екі түрлі вектор. Ұшаққа координаталар пайда болады. Енді үш өлшемді кеңістіктегі векторларды қарастырайық, мұнда барлығы бірдей! Тек басқа координат қосыңыз. Үш өлшемді сызбалар қатты жұмыс істейді, сондықтан мен бірдей векторды шектеймін, бұл қарапайымдылық координаталар басталғаннан кейінге қалдырылады: Бұрын Орональталь  и негіз Үш өлшемді кеңістік және тіктөртбұрышты координат жүйесі, бір векторлар Бұл негізі жұптық ортогоналды: .

Жерлерде қайта оралу. Іркім . Белдік Ол кеңістіктегі көрнекі әсер ету үшін тек 45 градус бұрышта қисайған. Дәл осы қағазға үш өлшемді сызбаларды қалай дұрыс орындау керек, әдістеменің басында оқыңыз Функциялардың диаграммалары мен қасиеттері : формада көрсетілген: Үш өлшемді кеңістік болуы мүмкін Жалғыз жол

Ортонормальды негізде ыдырайды - вектордың координаттары (Сандар) осы негізде. Суреттен мысал: . Мұнда векторлармен іс-қимыл ережелері қалай жұмыс істейтінін көрейік. Біріншіден, векторлық көбейту: (Қызыл көрсеткі), (Жасыл жебе) және (Малиникалық көрсеткі). Екіншіден, бірнеше, бірнеше, бұл жағдайда, үш, векторлар: . Векторлық сома

Басталу орнынан басталады (вектордың басы) ) және келудің соңғы нүктесінде тұрып қалды (вектордың соңы) ).

Барлық үш өлшемді векторлар, әрине, ақысыз, ақыл-ойды кейінге қалдыруға тырысыңыз кез келген басқа нүктеден және сіз оның ыдырауын түсінесіз «Бұл оның ішінде қалады». .

Жазудан басқа, пәтер жағдайына ұқсас Жақшамен алынған нұсқалар кеңінен қолданылады: немесе Егер ыдырауда ешкім (немесе екі) координаталық вектор болмаса, оның орнына нөлдер қойылады. Мысалдар: Жақшамен алынған нұсқалар кеңінен қолданылады: немесе Егер ыдырауда ешкім (немесе екі) координаталық вектор болмаса, оның орнына нөлдер қойылады. Мысалдар: Жақшамен алынған нұсқалар кеңінен қолданылады: немесе .

вектор

(мұқият

) - жазу

; вектор

Базалық векторлар келесі түрде жазылған: Бұл аналитикалық геометрия мәселелерін шешу үшін қажетті ең төменгі теориялық білім. Мүмкін аз мөлшерде терминдер мен анықтамалар, сондықтан мен шайнектерді қайта оқып, осы ақпаратты қайта түсінуге кеңес беремін. Кез-келген оқырман кез-келген оқырман материалды жақсы меңгергені үшін негізгі сабақтармен байланысу үшін пайдалы болады. Колинарлық, ортогоналит, ортонормальды негіз, вектордың ыдырауы - осы және басқа ұғымдар болашақта жиі қолданылады. Мен сайттың материалдары теориялық тестілеу, геометриядағы коллоквиум, өйткені барлық теоремалар (сонымен қатар дәлелсіз), мен мұқият шифрлаймын - презентацияның ғылыми стиліне зиян келтіремін, сонымен қатар сіздің түсінігіңізбен тақырыптың. Толық айтсақ, теориялық анықтаманы алу үшін мен профессор Атанасянға тағзым сұраймын. Біз практикалық бөлімге жүгінеміз:

Аналитикалық геометрияның қарапайым міндеттері.

Координаттарда векторлармен әрекеттер

Қарастырылатын тапсырмалар толық машинада және формулаларда шешуді үйренген жөн  и Қасиетті есте сақтаңыз Әсіресе, өздерін есте сақтамайды, олар есте сақтамайды =) Бұл өте маңызды, өйткені аналитикалық геометрияның басқа міндеттері қарапайым қарапайым мысалдарға негізделген және ломбардтарды жеуге қосымша уақыт әсер етеді. Көйлектегі жоғарғы түймелерді жыпылықтаудың қажеті жоқ, көп нәрсе сізбен мектептен таныс. Ауырмаңалануларға арналған ең жоғары математика және тек >>>

Материалдың тұсаукесері ұшаққа және ғарышқа параллель болады. Барлық формулалар туралы ... өздерін қараңыз.  и Қасиетті есте сақтаңыз Әсіресе, өздерін есте сақтамайды, олар есте сақтамайды =) Бұл өте маңызды, өйткені аналитикалық геометрияның басқа міндеттері қарапайым қарапайым мысалдарға негізделген және ломбардтарды жеуге қосымша уақыт әсер етеді. Көйлектегі жоғарғы түймелерді жыпылықтаудың қажеті жоқ, көп нәрсе сізбен мектептен таныс. (Басты бетке өтіңіз)

Екі нүктеде векторды қалай табуға болады? Егер екі ұшақ нүктесі берілсе , содан кейін вектор Онда келесі координаттар бар: .

Егер екі кеңістіктің екі нүктесі берілсе Яғни, Векторлық аяқтау координаттарынан

Тиісті координаттарды шегеру керек

Вектордың басталуы  и Тапсырма:

Дәл осындай нүктелер үшін вектордың координаттарын табу формуласын жазып алыңыз . Сабақтың соңында формулалар.

1-мысал.

Екі ұшақ нүктесі беріледі

. Вектордың координаттарын табыңыз

Шешім:

Тиісті формула бойынша: Авторға қалай алғыс айтуға болады?

Сонымен қатар, сіз келесі жазбаны пайдалана аласыз: Эстеталар келесідей шешіледі: :

Жеке өзім, мен оны жазудың алғашқы нұсқасына қолдандым. Жауап:

Жағдай бойынша сурет салу қажет емес (аналитикалық геометрияның міндеттеріне тән), бірақ кейбір сәттерді заттарды толтыру үшін келесі сәттерді түсіндіру үшін: Түсінгеніңізге сенімді болыңыз Нүктелер мен векторлардың координаттарының арасындағы айырмашылық Нүктенің координаттары - Бұл төртбұрышты координаталар жүйесіндегі әдеттегі координаттар. Координаталық жазықтықтағы жинақтау нүктелері, менің ойымша, барлығы әлі де 5-6 сыныптан алады. Әр нүктеде ұшақта қатаң орын бар, оларды бір жерге жылжыту мүмкін емес. .

Сол вектордың координаттары - Бұл оның негізінде оның негізі , Бұл жағдайда . Кез-келген вектор ақысыз, сондықтан қаласаңыз, біз қаласаңыз немесе қажет болса, оны ұшақтың басқа нүктелерінен оңай кейінге қалдыруға болады (шатасудан аулақ болу үшін, мысалы, арқылы, мысалы, арқылы) ). Бір қызығы, векторлар үшін сіз барлық осьтерді, тікбұрышты координат жүйесін құра алмайсыз, тек негіз ғана негіз қажет, бұл жағдайда ұшақтың ортонормальды негізі қажет Ұпайлар мен векторлардың координаттарының координаттарының жазбалары ұқсас болып көрінеді:

, бірақ

Координаттардың мағынасы

тіпті  и әр түрлі  и Сіз бұл айырмашылықты жақсы түсінуіңіз керек. Бұл айырмашылық, әрине, кеңістік үшін жарамды.  и әр түрлі  и Ханымдар мен мырзалар, қол алыңыз:  и әр түрлі  и 2-мысал. әр түрлі .

а) Донас

. Өлеңдер табыңыз .

б) Донас

.

Қарастырылатын тапсырмалар толық машинада және формулаларда шешуді үйренген жөн  и в) донас . «Бәрі өтті!» - студенттерге онлайн-сервистік көмек

Материалдың тұсаукесері ұшаққа және ғарышқа параллель болады. Барлық формулалар туралы ... өздерін қараңыз.  и в) донас . Вектор тұжырымдамасы. Вектордың анықтамасы

г) Донас Мүмкін. Бұл тәуелсіз шешім үшін мысалдар, оларды елемеуге, төлеуге тырысыңыз ;-). Суреттердің қажеті жоқ. Сабақтың соңында шешімдер мен жауаптар.  и Аналитикалық геометрияның міндеттерін шешу кезінде не маңызды?

«Екі плюс екеуі нөлге тең» қателігінің алдын алу үшін өте мұқият болу керек. Мен қателессем, мен бірден кешірім сұраймын =)

Сегменттің ұзындығын қалай табуға болады?  и Ұзын, атап айтқанда, белгіленгендей, модуль белгісімен көрсетілген. .

Дәл осындай нүктелер үшін вектордың координаттарын табу формуласын жазып алыңыз Содан кейін сегменттің ұзындығы

Шешім:

формула бойынша есептеуге болады Тең векторлар тегін вектор ретінде түсініледі

Ескерту:  – Егер тиісті координаттар орындалған болса, формулалар дұрыс болып қалады: Бірақ бірінші стандартты нұсқа 3-мысал.

Ұпай

. Кесудің ұзындығын табыңыз

Тиісті формула бойынша:

Түсінікті болу үшін мен сурет саламын

Жол сегменті Бұл вектор емес және оны бір жерде жылжытыңыз, әрине, мүмкін емес. Сонымен қатар, егер сіз масштабта сурет салсаңыз: 1 бірлік. = 1 см (екі жазу кітапшасы), содан кейін нәтиже алынды Сіз кәдімгі сызғышты тексере аласыз, сегменттің ұзындығын тікелей өлшей аласыз. Иә, шешім қысқа, бірақ мен әлі де нақтылағым келетін бірнеше маңызды сәттер бар: Біріншіден, жауап ретінде біз лшемді қойдық: «бірліктер». Шарт оның миллиметр, сантиметр, метр немесе километр деп айтылмағанын айтады. Сондықтан математикалық сауданы шешім жалпы тұжырымдау болады: «Бірліктер» - қысқартылған «бірліктер». Екіншіден, біз мектеп материалдарын тек қарастырылған міндет үшін ғана емес қайталаймыз:

Оқыңыз !!! Векторларды қалай бүктеуге болады

Назар аударыңыз Маңызды техникалық техника Түбірдің астынан қосу . Есептеулер нәтижесінде біз нәтиже көрсеттік Және жақсы математикалық стиль көбейткішті тамыр астынан (мүмкін болса) жасауды қамтиды. Толығырақ процесс келесідей: . Әрине, нысанда жауап қалдырыңыз Бұл қателік болмайды - бірақ дәл бір нәрсенің жағымсыздығы және мұғалімнің сарбаздары үшін ауыр дәлел. Мұнда басқа да қарапайым жағдайлар: Көбінесе түбірдің астында ол жеткілікті үлкен санды шығарады . Мұндай жағдайларда қалай болу керек? Калькуляторда санның 4-ке бөлінетінін тексеріңіз:

. Ия, осылай бөлінді, осылайша бөлінді: . Және мүмкін сан

Тағы бір рет 4-ке бөлуге болады ма? Үшбұрыш ережесі бойынша векторларды қосу

. Осылайша:

. Сандарда

Соңғы фигура тақ, сондықтан ол үшінші рет 4 рет бөлінеді. Біз тоғызды бөлуге тырысамыз:

Сегменттің ұзындығын қалай табуға болады?  и Ұзын, атап айтқанда, белгіленгендей, модуль белгісімен көрсетілген. .

. Нәтижесінде:

Дайын.

Қорытынды: Егер сан түбірте болса, онда сан алынады, содан кейін біз түбірдің астындағы мультипликатқа шыдаймыз - калькуляторда біз санның бөлінетінін тексереміз: 4, 9, 16, 25, 36, 49, т.б. Вектордың саны бойынша көбейту.

Әр түрлі мәселелерді шешу кезінде тамырлар жиі кездеседі, әрқашан мұғалімнің түсініктемелері бойынша шешімдеріңізді жақсартуға қатысты қажетсіз мәселелердің төмендеуіне жол бермеу үшін көбінесе тамырлардан көбейткіштерді алуға тырысыңыз. Егер сан түбірте болса, онда сан алынады, содан кейін біз түбірдің астындағы мультипликатқа шыдаймыз - калькуляторда біз санның бөлінетінін тексереміз: 4, 9, 16, 25, 36, 49, т.б. Тіктөртбұрышты координат жүйесі және Ortonormal ұшақ базасы.

Сонымен қатар, біз тамырлардың құрылысын алаңға және басқа градусқа қайталайық:

Жалпы алғанда, градус дәрежесі бар іс-шаралар ережелерін алгебра бойынша мектеп оқулығынан табуға болады, бірақ менің ойымша, жоғарыдағы мысалдардан бастап, бәрі де, барлығы да анық.

Сегменттің ұзындығын қалай табуға болады?  и Ғарыштағы сегменттегі тәуелсіз шешімге арналған тапсырма: .

4-мысал.

Дәл осындай нүктелер үшін вектордың координаттарын табу формуласын жазып алыңыз Сабақтың соңында шешім және жауап. :

Вектордың ұзындығын қалай табуға болады? Егер сіз векторлық ұшақ жасай алсаңыз

Шешім:

Содан кейін оның ұзындығы формула бойынша есептеледі

Егер кеңістіктің векторы берілсе Ұшақта базалық векторлардың ыдырауы

Бұл формулалар (сонымен қатар сегменттің ұзындығының формуласы) қажетсіз пифагоре теоремасын қолдана отырып оңай алынып тасталады. 5-мысал. . Вектордың ұзындығын табыңыз .

Мен 3 мысалда сол ұпайларды алдым. Алдымен векторды табыңыз Формула бойынша Вектордың ұзындығын есептеңіз:

Өлшемді көрсетуді ұмытпаңыз - «Бірліктер»! Айтпақшы, әрдайым, егер сіз бұл жағдайда қажет болмаса, болжалды мәнді есептеуіңіз керек (осы 8.94-санда), егер бұл жағдайда қажет болмаса? Менің ойымша, бұл артық болмайды, шамалы мәннің жетіспеуі дәнекерлеуге байланысты. Дөңгелектеу үтірден кейін 2-3 таңбадан кейін орындаған жөн.  и Ұзын, атап айтқанда, белгіленгендей, модуль белгісімен көрсетілген. .

Тапсырмаға сурет салу: 3-мысалдан негізгі айырмашылық неде? Айырмашылық - бұл Мұнда біз вектор туралы айтып отырмыз Алдымен векторды табыңыз :

, сегмент туралы емес. Векторды ұшақтың кез-келген нүктесіне жылжытуға болады, мысалы, оны қайта шығарған дұрыс, мысалы, арқылы

3-мысалдың ұқсастығы және 5-мысалның ұқсастығы қандай? Сегменттің ұзындығы геометриялық айқын

Вектордың ұзындығына тең

. Вектордың ұзындығы да анық

тіпті  и Ғарыштағы сегменттегі тәуелсіз шешімге арналған тапсырма: бірдей болады. Келесі: , ,  и 3-тапсырма екінші жолмен шешілуі мүмкін, мен жағдайды қайталаймын: күндер

Формуланы қолданудың орнына

вектор

Мен мұны істеймін:

1) Векторды табыңыз . 2) және қазір сегменттің ұзындығының фактісін қараңыз  и Бұл әдіс аналитикалық геометрияның тапсырмаларын шешу кезінде кеңінен қолданылады. Жоғарыда айтылғандар кеңістіктік корпус үшін дұрыс : Оқыту үшін: 6-мысал. .

б) векторлар . Олардың ұзындығын табыңыз. .

. Мектеп киетін бөлмеде бұл ілгіш 20 (!) Қайта басып шығаруға төтеп бере алады, бұл, әрине, шек жоқ. Сабақтың соңында шешімдер мен жауаптар. Сабақтың бірінші бөлігінде біз векторларды қосу және вектордың саны бойынша көбейту ережелерін қарастырдық. Бірақ олар оларды түбегейлі графикалық тұрғыдан санады. Осы ережелер аналитикалық түрде жұмыс істейтінін көрейік - векторлардың координаттары келтірілген кезде: бір) Ендіру векторларының ережесі :.

. Екі вектордың ұшағын қарастырайық . Векторларды бүктеу үшін сізге керек

тиісті координаттарын бүктеңіз

г) Донас . Жай. Егер мен ерекше жағдайды жазамын - векторлық айырмашылық формуласы: , . Ұқсас ереже кез-келген векторлардың мөлшеріне жарамды, мысалы, вектор үш вектордың мөлшерін табыңыз: .

Егер біз ғарыштағы векторлар туралы айтатын болсақ, онда бәрі бірдей, қосымша координат қосылады. Егер векторлар берілсе

Содан кейін олардың сомасы вектор  и Векторлық көбейту нөмірі бойынша ереже.  и

Жеңіл! Вектор үшін Сан бойынша көбейту

Шешім:

, сіз осы вектордың әр координатасын санға көбейтуіңіз керек Кеңістіктік вектор үшін Ғарыштағы векторлардың кеңеюіЕреже бірдей: Аналитикалық геометрия барысында келесі фактілер қатаң дәлелденген. Бұл ережелер тек ортонормальды негіздер үшін ғана емес

Бірақ ұшақтың немесе кеңістіктің еркін жақындық негізі үшін. Мақаладағы негіздер туралы толығырақ оқыңыз.

Сызықты (емес) векторлық тәуелділік. Базалық векторлар

7-мысал.

Содан кейін олардың сомасы вектор  и Векторлық көбейту нөмірі бойынша ереже.  и

Векторлар беріледі . Табу

Шешім:

Шешім

Таза аналитикалық:

Содан кейін олардың сомасы вектор Векторлық көбейту нөмірі бойынша ереже.  и

Мұндай тапсырмалардағы сурет салудың қажеті жоқ, алайда геометриялық демонстрация өте пайдалы болады. Егер біз векторлар ортонормальды негізде орнатылса

Мәселенің графикалық шешімі келесідей болады:

Ол жақында сөйлесіп жатқандықтан бетіне. Негізгісі, менің ойымша, көптеген түсінікті, толығырақ ақпаратты мақалада табуға болады. Сызықты (емес) векторлық тәуелділік. Базалық векторлар

жалғыз

Аударумалды негіздегі векторлар туралы, осьтер салудың қажеті жоқ. Негізгі векторларды және қай жерде болса да, жеткілікті. Ал, ыңғайлы болу үшін координаталық тор. Қатаң сөйлеу, бұған дейін мен кішкене кемшілік жасадым - сабақтың кейбір сызбаларында картофониялық координат жүйесін тартпауға болады. Оған векторлар қажет емес, оларға негіз қажет. Дегенмен, әрқашан сурет салу жақсы, бірақ содан кейін сіз барлық білімдеріңізді қорқытасыз =)

Көріп отырғаныңыздай, шешудің графикалық әдісі шешімнің аналитикалық шешімімен бірдей нәтижеге әкелді. Тағы да, векторлардың еркіндігін байқаңыз: үш «құрылымның» кез-келгеніне ұшақтың кез келген нүктесіне көшуге болады.

Кеңістіктегі векторлар үшін сіз осындай есептеулерді жүргізе аласыз. Бірақ онда сызбалар салу әлдеқайда қиын, сондықтан мен аналитикалық шешімді шектеймін (іс жүзінде, іс жүзінде, қажет емес):

 Ұшақта екі нүктеге қалай әсер ету керек

8-мысал.

Шешім:

Векторлармен әрекет ету үшін қарапайым алгебралық басымдық әділ: алдымен көбейту, содан кейін біз жинаймыз:

Жасөспірімде ұшақта векторлармен жұмыспен қамтылған мысал келтірілген:

Добавить комментарий